به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
386 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

انتگرال $ \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ را چطوری میتوان محاسبه کرد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ابتدا متغییر رو تغییر میدهیم :

$$x = \tan\theta \to dx=(\tan ^ 2\theta +1)d \theta $$ $$\tan (\dfrac{\pi}{4})=1 \ \ , \ \ \tan (0)=0$$

باز سازی انتگرال :

$$I= \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \ d\theta \tag{ 1}$$

از نکته زیر استفاده میکنیم :

$$\int_{0}^{a} f(x) \ dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \ dx$$

خواهیم داشت :

$$I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(1+\tan\Bigl(\frac{\pi}{4}-\theta\Bigr)\biggr) \ d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(\frac{2}{1+\tan\theta} \biggr) \ d\theta \tag{ 2}$$

انتگرال $1,2$ را جمع میکنیم :

$$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(2) \ d\theta\Rightarrow I= \ln(2) \cdot \frac{\pi}{8}$$
دارای دیدگاه توسط
+1
@saderi7
ایده قشنگ.
دارای دیدگاه توسط
@fardina
 ممنونم :)
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

با استفاده از تغییر متغیر $ x=\tan\theta $ چون $ x $ از $ 0 $ تا $1$ تغییر می کند لذا $\theta $ از $ 0 $ تا $\pi/4 $ تغییر خواهد کرد و همچنین از $ dx=(\tan^2\theta+1)d\theta $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx&=\int_0^{\pi/4}\frac{\ln(\tan\theta+1)}{\cancel{\tan^2\theta+1}}(\cancel{\tan^2\theta+1)}d\theta \\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sin\theta+\cos\theta)-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sqrt{2}\cos(\pi/4-\theta))-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta+\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta))d\theta}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\theta)d\theta}}\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta\\ &=\pi/4\ln(\sqrt2)\\ &=\pi/8\ln2 \end{align}$$


اثبات برابری دو عبارتی که زیرشون خط کشیدم:

اگر قرار دهیم $ \alpha=\pi/4-\theta $ آنگاه : $$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta)d\theta&=\int_{\pi/4}^0\ln(\cos\alpha)(-d\alpha)\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\alpha)d\alpha \end{align}$$

دارای دیدگاه توسط
+1
توجه کنید که همواره $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\pi/4+\theta)=\sqrt2\cos(\pi/4-\theta)$
دارای دیدگاه توسط
+1
بنظرم راه حل پایانی درست نیست. اینکه روی دو انتگرال خط زدین. این دو با هم برابر نیستن که حذف شن. من در نهایت به انتگرال ln sinx رسیدم.
دارای دیدگاه توسط
+1
zh: ممنون برای دیدگاهتون. من اثبات برابری دو انتگرال رو اضافه کردم. چه خوبه شما هم راه حلتون رو بنویسید.
دارای دیدگاه توسط
+1
راه حل من خیلی طولانی شد. راستش انتگرال نهایی که حاصل از چند تغییر متغییر و جز به جز هستش، خیلی سخت شد و از حلش صرف نظر کردم
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...