به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
425 بازدید
در دانشگاه توسط فرید
ویرایش شده توسط fardina

انتگرال $ \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1} dx$ را چطوری میتوان محاسبه کرد؟

2 پاسخ

+4 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ابتدا متغییر رو تغییر میدهیم :

$$x = \tan\theta \to dx=(\tan ^ 2\theta +1)d \theta $$ $$\tan (\dfrac{\pi}{4})=1 \ \ , \ \ \tan (0)=0$$

باز سازی انتگرال :

$$I= \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan\theta) \ d\theta \tag{ 1}$$

از نکته زیر استفاده میکنیم :

$$\int_{0}^{a} f(x) \ dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \ dx$$

خواهیم داشت :

$$I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(1+\tan\Bigl(\frac{\pi}{4}-\theta\Bigr)\biggr) \ d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \ln\biggl(\frac{2}{1+\tan\theta} \biggr) \ d\theta \tag{ 2}$$

انتگرال $1,2$ را جمع میکنیم :

$$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(2) \ d\theta\Rightarrow I= \ln(2) \cdot \frac{\pi}{8}$$
توسط fardina
+1
@saderi7
ایده قشنگ.
توسط saderi7
@fardina
 ممنونم :)
+3 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

با استفاده از تغییر متغیر $ x=\tan\theta $ چون $ x $ از $ 0 $ تا $1$ تغییر می کند لذا $\theta $ از $ 0 $ تا $\pi/4 $ تغییر خواهد کرد و همچنین از $ dx=(\tan^2\theta+1)d\theta $ داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \int_0^1\frac{\ln(x+1)}{x^2+1}dx&=\int_0^{\pi/4}\frac{\ln(\tan\theta+1)}{\cancel{\tan^2\theta+1}}(\cancel{\tan^2\theta+1)}d\theta \\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1)d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sin\theta+\cos\theta)-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}(\ln(\sqrt{2}\cos(\pi/4-\theta))-\ln\cos(\theta))d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta+\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta))d\theta}}\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\underbrace{\cancel{\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\theta)d\theta}}\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\sqrt2)d\theta\\ &=\pi/4\ln(\sqrt2)\\ &=\pi/8\ln2 \end{align}$$


اثبات برابری دو عبارتی که زیرشون خط کشیدم:

اگر قرار دهیم $ \alpha=\pi/4-\theta $ آنگاه : $$\begin{align} \int_0^{\pi/4}\ln(\cos(\pi/4-\theta)d\theta&=\int_{\pi/4}^0\ln(\cos\alpha)(-d\alpha)\\ &=\int_0^{\pi/4}\ln(\cos\alpha)d\alpha \end{align}$$

توسط fardina
+1
توجه کنید که همواره $\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\pi/4+\theta)=\sqrt2\cos(\pi/4-\theta)$
توسط zh
+1
بنظرم راه حل پایانی درست نیست. اینکه روی دو انتگرال خط زدین. این دو با هم برابر نیستن که حذف شن. من در نهایت به انتگرال ln sinx رسیدم.
توسط fardina
+1
zh: ممنون برای دیدگاهتون. من اثبات برابری دو انتگرال رو اضافه کردم. چه خوبه شما هم راه حلتون رو بنویسید.
توسط zh
+1
راه حل من خیلی طولانی شد. راستش انتگرال نهایی که حاصل از چند تغییر متغییر و جز به جز هستش، خیلی سخت شد و از حلش صرف نظر کردم

سال نو مبارک!


حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...