به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
87 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اگر $f(x)+f(y)=f(x+y)$و $f(1) \neq 1$ ثابت کنید به ازای هر عدد طبیعی

$\frac{f(n)}{f(1)} =n$

اگر$f(x)+f(y)=f(x+y)$و$f(1) \neq 1$ آنگاه $\frac{f(n)}{f(1)} =n$

دارای دیدگاه توسط erfanm
باید به جای $f(1) \neq 1$  داشته باشیم $f(1) \neq 0$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

برای جواب از استقرا استفاده می کنیم و نشان می دهیم $f(nx)=nf(x) $ برای $n=1 $ بدیهی است فرض کنید $n=2 $ باشد در رابطه ی داده شده در سوال به جای $ y $ هم $ x $ می نویسیم لذا داریم: $(2f(x)=)f(x)+f(x)=f(x+x)(=f(2x))$ حال فرض حکم برای $n-1 $ برقرار باشد یعنی $ f((n-1)x)=(n-1)f(x) $ نشان می دهیم حکم برای $ n $ نیز برقرار است.داریم: $$f(nx)=f( \underbrace{(n-1)x}_{y} +x) =f((n-1)x)+f(x)=(n-1)f(x) +f(x)=nf(x)$$ حال به جای $ $ قرار می دهیم $1$ یعنی $ f(n)=nf(1) $ و با توجه به فرض $f(1) \neq 0 $ با تقسیم بر $ f(1) $ حکم نتیجه می شود.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...