به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
88 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط

حل كلي معادلات به صورت زير ..؟؟

$$[ax]+b[x]+c=0$$

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

براي حل معادلات به صورت زير

$$[ax]+b[x]+c=0$$

داريم

$$ \begin{cases}x=n+p & 0 \leq p<1 \Rightarrow [p]=0\ax=an+ap & 0 \leq ap < a \Rightarrow [ap]=0,1,...(a-1)\end{cases} $$

حال جايگذاري ميكنيم

$$[ax]+b[x]+c=0 \Rightarrow [a(n+p)]+b[n+p]+c=0$$

$$ \Rightarrow [an+ap]+b[n+b]+c=0$$

$$ \Rightarrow an+[ap]+b(n+[p])+c=0$$

$$ \Rightarrow an+[ap]+bn+b[p]+c=0,(b[p]=0)$$

$$ \Rightarrow an+bn+[ap]+c=0$$

$$n(a+b)=-(c+[ap])$$

$$n= \frac{-(c+[ap])}{a+b} ,([ap]=0,1 ....(a-1) )$$

باتوجه به اينكه $n \in Z$ميباشد بنابراين$(a+b) \mid (c+[ap])$

تا اينجاي كار ما$n$رابدست آورديم

حال باتوجه به$$x=n+p \rightarrow 0 \leq p < 1$$

به نامعادله ي زير ميرسيم $$n \leq p +n< n+1$$

$$ \ n \leq x< n+1$$

$$ \frac{-(c+[ap])}{a+b} \leq x < \frac{-(c+[ap])}{a+b} +1$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

برای حل این سوال ابتدا توجه کنید که اگر داشته باشیم $ [x]=k $ آنگاه$k \leq x < k+1 $ می توان حلت های زیر را نوشت:

$k + \frac{i}{a} \leq x < k+\frac{i+1}{a} $ که در آن$0 \leq i < a$ است پس $ ak+i \leq ax < ak+i+1 $ یا بصورت کلی $[ax]=a[x]+i $ که در آن $0 \leq i < a$ با جایگذاری در معادله داریم:

$$ a[x]+i +b[x]+c=0 \Rightarrow [x]= \frac{-c-i}{a+b} $$ و به ازای $ 0 \leq i < a$ که کسر $ \frac{-c-i}{a+b} $ صحیح باشد جواب برابر $\frac{-c-i}{a+b} \leq x < \frac{-c-i}{a+b} +1$ اشتراک با $k + \frac{i}{a} \leq x < k+\frac{i+1}{a} $ مورد قبول است.

مثلا برای مثال $[2X]-[X]+3$ داریم:$a=2,b=-1,c=3$ و $0 \leq i < 2$ پس دو بازه ودو کسر داریم

بازه اول $k + \frac{0}{a} \leq x < k+\frac{0+1}{a} $ و $k=[x]= \frac{-c-i}{a+b} = \frac{-3-0}{2-1} =-3 $

پس جواب برابر $-3 \leq x <-2$ اشتراکش با $(-3=)-3 + \frac{0}{2} \leq x < -3+\frac{0+1}{2} (=-2.5) $ در این حالت است.

بازه دوم $k + \frac{1}{a} \leq x < k+\frac{1+1}{a} $ و $ k=[x]= \frac{-c-i}{a+b} = \frac{-3-1}{2-1} =-4 $پس جواب برابر $-4 \leq x <-3$ اشتراکش با $-4 + \frac{1}{2} \leq x < -4+\frac{1+1}{2} $ در این حالت است.

پس جواب کلی برابر $-3.5 \leq x <-2.5 $است.

روش دوم: برای حل از رابطه ی $[2x]=[x]+[x+ \frac{1}{2} ]$ استفاده می کنیم پس داریم: $[2X]-[X]+3=[x]+[x+ \frac{1}{2} ]-[X]+3=[x+ \frac{1}{2} ]+3=0$ پس $[x+ \frac{1}{2} ]=-3 $ یعنی $-3 \leq x+ \frac{1}{2} <-2$پس $-3.5 \leq x <-2.5$

دارای دیدگاه توسط
+1
@erfanm
ممنون از پاسختون..
فقط لطف ميكنيد تمام مراحل كه انجام داديد رو رو اين مثال پياده كنيد
$[2X]-[X]+3$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...