به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
2,267 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط

اثبات اين قضيه رو ميخواستم..

$$ |a | - |b | \leq | a-b | , |a+b | \leq |a | + |b | $$

ودر چه حالتي با هم برابر هستند.

دارای دیدگاه توسط
+2
@fardina
@arvin
ممنون از پاسخ هاتون فقط ..
اين نامساويي كه من گفتم فقط يك نامساوي..اون وكه گذاشتم يعني اينكه اونا در كنار هم هستن
اثبات كلي اين نامساوي رو ميخوام
دارای دیدگاه توسط
+1
باید زیر پاسخ ها دیدگاه میذاشتید نه اینجا. پاسخ رو ویرایش کردم.

3 پاسخ

+5 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ميخواهيم به طور كلي اين موضوع رو بررسي كنيم.

بنابراين نامساوي هاي زير را مينويسيم.

1-)$$ | a+b | \leq | a| + |b | $$

2-)$$ |a-b | \leq | a | + |b | $$

3-)$$ | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | - | b| \leq |a | + | b | $$

6-)$$ | a-b | ؟ | a+b| $$

(علامت؟يعني اينكه نميتوان به طور كلي علامت نامساوي را قرار داد)

حال ميخواهيم تمام اين نامساوي هارا به يك نا مساوي كلي تبديل كنيم.

همانطور كه مشاهده ميكنيم

$ ( |a | + | b | ) \geq | a+b | , | a-b | , | a | - |b | $

$( | a | - | b | ) \leq | a+b | , | a-b| , |a | + | b| $

$ | a-b | ؟ | a+b| $

بنابراين نامساوي كلي را به صورت زير ميتوان نشان داد.

$$ |a | - |b | \leq | a-b| ? | a+b | \leq | a | + |b | $$

حال ميخواهيم نامساوي هاي بالا را اثبات كنيم

1-)$$ \begin{cases}- |a | \leq a \leq | a| & \- | b| \leq b \leq | b | & \end{cases} \rightarrow -( | a | + | b | ) \leq a+b \leq ( | a | + | b | ) \Rightarrow |a+b | \leq |a | + | b | $$

2-)$$ | a+(-b) | \leq | a| + | -b | $$

$$ | -b | =b \rightarrow | a-b | \leq | a| + | b |$$

3-)$$ | a|= | (a+b)-b | \leq | a+b | + | b| $$

$$ \rightarrow | a | \leq | a+b | + | b| \Rightarrow | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a+b | \leq | a | + | b| $$

$$ \rightarrow |(a-b)+b | \leq | a-b| + |b | $$

$$ \rightarrow |a | \leq | a-b | + |b | $$

$$ \rightarrow | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | + | b | \geq |a-b | \geq | a | - | b| $$

$$ \rightarrow | a | + | b | \geq | a | - | b| $$

6-)$$ ( | a-b | )^{2} = a^{2} +b^{2} -2ab$$

$$ ( | a+b | )^{2} = a^{2} +b^{2} +2ab$$

اگر $ab=0$,$$ | a+b| = |a-b | $$

اگر$ab>0$,$$ |a+b | > | a-b | $$

اگر$ab<0$,$$ | a+b|< | a-b| $$

در نتيجه $ | a-b | ؟ | a+b| $

دارای دیدگاه توسط
+2
کاملا درسته.
+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$$ ( | a+b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2ab $$

$$ ( | a | + | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر$ ab<0$

$$ ( | a+b | )^{2} > ( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | > | a| + | b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a+b | \leq | a| + | b | $$

$$ ( | a-b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2ab $$

$$ ( | a | - | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر$ ab<0$

$$ ( | a-b | )^{2} > ( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | > | a| -| b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a-b | \geq | a| - | b | $$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

می دانیم که

برای هر $x\in\mathbb R$همواره $-|x|\leq x\leq |x|$

(چرا؟کافی است حالت های بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر از صفر را بررسی کنید).

و همچنین

برای $k>0$ داریم: $$|x|\leq k\iff -k\leq x\leq k$$

پس از $$-|b|\leq b\leq |b|$$ و $$-|a|\leq a\leq |a|$$داریم $$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$$.

اگر قرار دهید $|a|+|b|=k$ و $x=a+b$ در اینصورت $$-k=-(|a|+|b|)\leq \underbrace{a+b}_x\leq |a|+|b|=k$$ که بنابر نکته بالا معادل است با $$|a+b|=|x|\leq k=|a|+|b|$$ .

پس تا حالا ثابت کردیم برای هر $a,b$ داریم $|a+b|\leq |a|+|b|$ . پس از جمله برای $A=a$ و $B=-b$ داریم $|a-b|=|A+B|\leq |A|+|B|=|a|+|-b|=|a|+|b|$ .

توجه کنید که از این نکته استفاده کردیم که $|-x|=|x|$ .


برای اثبات رابطه ی دوم: با استفاده از قسمت قبل و قرار دادن $x=a-b$ داریم

$$|a|=|a-b+b|=|x+b|\leq |x|+|b|=|a-b|+|b|$$ بنابراین $|a|-|b|\leq |a-b|$

اگربه جای $b$ قرار دهید $-b$داریم $|a|-|b|=|a|-|-b|\leq |a-(-b)|=|a+b|$ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...