به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
4,313 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط asal4567
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

اثبات اين قضيه رو ميخواستم..

$$ |a | - |b | \leq | a-b | , |a+b | \leq |a | + |b | $$

ودر چه حالتي با هم برابر هستند.

توسط asal4567
+2
@fardina
@arvin
ممنون از پاسخ هاتون فقط ..
اين نامساويي كه من گفتم فقط يك نامساوي..اون وكه گذاشتم يعني اينكه اونا در كنار هم هستن
اثبات كلي اين نامساوي رو ميخوام
توسط fardina
+1
باید زیر پاسخ ها دیدگاه میذاشتید نه اینجا. پاسخ رو ویرایش کردم.

3 پاسخ

+5 امتیاز
توسط saderi7
ویرایش شده توسط saderi7

ميخواهيم به طور كلي اين موضوع رو بررسي كنيم.

بنابراين نامساوي هاي زير را مينويسيم.

1-)$$ | a+b | \leq | a| + |b | $$

2-)$$ |a-b | \leq | a | + |b | $$

3-)$$ | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | - | b| \leq |a | + | b | $$

6-)$$ | a-b | ؟ | a+b| $$

(علامت؟يعني اينكه نميتوان به طور كلي علامت نامساوي را قرار داد)

حال ميخواهيم تمام اين نامساوي هارا به يك نا مساوي كلي تبديل كنيم.

همانطور كه مشاهده ميكنيم

$ ( |a | + | b | ) \geq | a+b | , | a-b | , | a | - |b | $

$( | a | - | b | ) \leq | a+b | , | a-b| , |a | + | b| $

$ | a-b | ؟ | a+b| $

بنابراين نامساوي كلي را به صورت زير ميتوان نشان داد.

$$ |a | - |b | \leq | a-b| ? | a+b | \leq | a | + |b | $$

حال ميخواهيم نامساوي هاي بالا را اثبات كنيم

1-)$$ \begin{cases}- |a | \leq a \leq | a| & \- | b| \leq b \leq | b | & \end{cases} \rightarrow -( | a | + | b | ) \leq a+b \leq ( | a | + | b | ) \Rightarrow |a+b | \leq |a | + | b | $$

2-)$$ | a+(-b) | \leq | a| + | -b | $$

$$ | -b | =b \rightarrow | a-b | \leq | a| + | b |$$

3-)$$ | a|= | (a+b)-b | \leq | a+b | + | b| $$

$$ \rightarrow | a | \leq | a+b | + | b| \Rightarrow | a| - | b | \leq | a+b | $$

4-)$$ | a+b | \leq | a | + | b| $$

$$ \rightarrow |(a-b)+b | \leq | a-b| + |b | $$

$$ \rightarrow |a | \leq | a-b | + |b | $$

$$ \rightarrow | a | - |b | \leq | a-b| $$

5-)$$ | a | + | b | \geq |a-b | \geq | a | - | b| $$

$$ \rightarrow | a | + | b | \geq | a | - | b| $$

6-)$$ ( | a-b | )^{2} = a^{2} +b^{2} -2ab$$

$$ ( | a+b | )^{2} = a^{2} +b^{2} +2ab$$

اگر $ab=0$,$$ | a+b| = |a-b | $$

اگر$ab>0$,$$ |a+b | > | a-b | $$

اگر$ab<0$,$$ | a+b|< | a-b| $$

در نتيجه $ | a-b | ؟ | a+b| $

توسط fardina
+2
کاملا درسته.
+4 امتیاز
توسط arvin

$$ ( | a+b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2ab $$

$$ ( | a | + | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} +2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a+b | )^{2} =( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | = | a| + | b | $$

اگر$ ab<0$

$$ ( | a+b | )^{2} > ( | a | + | b| )^{2} \rightarrow | a+b | > | a| + | b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a+b | \leq | a| + | b | $$

$$ ( | a-b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2ab $$

$$ ( | a | - | b| )^{2}= a^{2} + b^{2} -2 | ab | $$

حال بررسي ميكنيم در 3 حالت..

اگر $ab = 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر $ab > 0$

$$ ( | a-b | )^{2} =( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | = | a| - | b | $$

اگر$ ab<0$

$$ ( | a-b | )^{2} > ( | a | - | b| )^{2} \rightarrow | a-b | > | a| -| b | $$

بنابراين نامساوي زير حاصل ميشود

$$ \ | a-b | \geq | a| - | b | $$

+3 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

می دانیم که

برای هر $x\in\mathbb R$همواره $-|x|\leq x\leq |x|$

(چرا؟کافی است حالت های بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر از صفر را بررسی کنید).

و همچنین

برای $k>0$ داریم: $$|x|\leq k\iff -k\leq x\leq k$$

پس از $$-|b|\leq b\leq |b|$$ و $$-|a|\leq a\leq |a|$$داریم $$-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$$.

اگر قرار دهید $|a|+|b|=k$ و $x=a+b$ در اینصورت $$-k=-(|a|+|b|)\leq \underbrace{a+b}_x\leq |a|+|b|=k$$ که بنابر نکته بالا معادل است با $$|a+b|=|x|\leq k=|a|+|b|$$ .

پس تا حالا ثابت کردیم برای هر $a,b$ داریم $|a+b|\leq |a|+|b|$ . پس از جمله برای $A=a$ و $B=-b$ داریم $|a-b|=|A+B|\leq |A|+|B|=|a|+|-b|=|a|+|b|$ .

توجه کنید که از این نکته استفاده کردیم که $|-x|=|x|$ .


برای اثبات رابطه ی دوم: با استفاده از قسمت قبل و قرار دادن $x=a-b$ داریم

$$|a|=|a-b+b|=|x+b|\leq |x|+|b|=|a-b|+|b|$$ بنابراین $|a|-|b|\leq |a-b|$

اگربه جای $b$ قرار دهید $-b$داریم $|a|-|b|=|a|-|-b|\leq |a-(-b)|=|a+b|$ .

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...