به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
74 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a_{1} , a_{2} ,..., a_{n} $ دنباله اي از اعداد حقيقي مثبت باشد .معادله ي

$$4 x^{2}-4( \sqrt{ a_{1} + a_{2} +... a_{n} }) x +n(\sqrt[n]{ a_{1} .a_{2} .... a_{n } }) $$

چند ريشه دارد ؟

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

اگر از رابطه ی بین میانگین هندسی و حسابی $\sqrt[n]{a_1...a_n}\leq \frac{a_1+...+a_n}{n}$ که در این سوال اثبات شده است استفاده کنید داریم:

$\Delta=b^2-4ac=16(a_1+...+a_n)-16n\sqrt[n]{a_1...a_n}\geq 0$ است. چون $\Delta\geq 0$ است لذا دو حالت را باید در نظر بگیریم: یا $\Delta> 0$ که در این صورت دو ریشه دارد یا $\Delta=0$ که در اینصورت فقط یک ریشه دارد.

توجه کنید که $\Delta=0$ معادل این است که میانگین هندسی و حسابی با هم برابر باشند که فقط در صورتی با هم برابرند که $a_1=a_2=...=a_n$ .

پس اگر در مساله فرض شود که حداقل دو تا از $a_i$ ها با هم برابر نیستند آنگاه معادله دو جواب حقیقی دارد.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...