اگر x, y دو فضای نرم دار و B (x,y)فضای باناخ آن گاه y نیز یک فضای باناخ است .

Question

من حالت هایی دیگر را مطالعه کرده ام اگر توانستید پاسخ دهید سوال درس آنالیز حقیقی است از کتاب رویدن و فولند هم استفاده کردم

Comments

معمولا فضاها را با حروف بزرگ می نویسند.
صورت سوال را در متن سوال باید بنویسید.
ذکر کنید منظور از $B(X,Y)$ چیست.
لطفا سوال را ویرایش کنید. برای سوال تون وقت بگذارید که دیگران رغبت به جواب دادن داشته باشند.

Answer 1

من این طور متوجه میشم که منظور از $B(X,Y)$ فضای برداری عملگرهای خطی از $X$ به $Y$ است.با این فرض فضای فوق نرم دار است و:

$ | | T-S | | =Sup | | T(x)-S(x) | | : | | x | | \leq 1$

حالا فرض کنید که $Y$ باناخ ( هر دنباله کوشی در آن همگراست ) است و $ \phi $ یک تابعک خطی غیر صفر است (یک عملگر خطی از $X$ به $F$ به عنوان یک فضای برداری است .در ضمن $ F $ اعداد حقیقی یا مختلط است ) لذا یک $x_0$ از $X$ موجود است که $ \phi (x_0)=1$.(?)

حالا برای هر $y \in Y$ تعریف کنید:

$T_y:X \rightarrow Y,T(x)= \phi (x)y ,x \in X$

به سادگی می توان نشان داد که $T_y \in B(X,Y)$.

حالا اگر

$(y_n)_{n \in N}$

یک دنبالۀ کوشی در

$Y$

باشد توجه کنید

$(T_{y_n})_{n \in N}$

نیز کوشی است و لذا به

$T$

همگراست و از آنجا

$(y_n)_{n \in N}$

به $T(x_0)$ همگراست و لذا $Y$ باناخ است.

$ \Box $