به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
198 بازدید
در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a_n $ یک دنباله ی حسابی باشد حاصل عبارت زیر را به دست آورید: $$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{39}a_{40}} $$

توسط fardina
+1
دوست عزیز با تشکر از سوال خوبتون.من سوالتونو ویرایش کردم. برای اینکه بتونید سوالتونو ویرایش کنید، دیدگاه بذارید، از جواب دادن به سوالتون خبرداربشید و از تمام امکانات دیگر سایت استفاده کنید حتما عضو سایت بشید. و برای تایپ ابتدا قسمت راهنمای تایپ را مطالعه بفرمایید.

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط jafar
انتخاب شده توسط jafar
 
بهترین پاسخ

اولا باید در نظر داشت که این جملات صفرنیستند تا مخرج رو صفر نکنن. حال فرض کنید $$ d= a_{2} - a_{2} =...=a_{40} -a_{39} > 0 $$ با تجزیه کردن داریم که $$ \begin{cases} \frac{1}{ a_{1} a_{2}} = \frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1} a_{2}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{1}}- \frac{1}{a_{2}} ). \frac{1}{d} \\ \frac{1}{ a_{2} a_{3}} = \frac{a_{3}-a_{2}}{a_{2} a_{3}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{2}}- \frac{1}{a_{3}} ). \frac{1}{d} \\...\\...\\ \frac{1}{ a_{39} a_{40}} = \frac{a_{40}-a_{39}}{a_{39} a_{40}}. \frac{1}{d} =( \frac{1}{a_{39}}- \frac{1}{a_{40}} ). \frac{1}{d} \end{cases} $$

حال با جمع کردن طرفین داریم که $$ \frac{1}{a_{1} a_{2}}+ \frac{1}{a_{2} a_{3}}+...+ \frac{1}{a_{39} a_{40}}= ( \frac{1}{a_{1}}- \frac{1}{a_{40}} ). \frac{1}{d} = $$ $$ = \frac{a_{40}-a_{1}}{a_{1}a_{40}}. \frac{1}{d} = \frac{39d}{a_{1}a_{40}}. \frac{1}{d}= \frac{39}{a_{1}a_{40}} $$

توجه کنید که در دنباله حسابی داریم $a_{40}=a_{1}+39d $ .

توسط erfanm
جوابت زیرکانه و هوشمندانه بود دست خوش
+2 امتیاز
توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

با استفاده از استقرا روی $ n $ میتوان ثابت کرد:

$ \frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{(a+b)(a+2b)} +....+ \frac{1}{(a+(n-1)b)(a+nb)} = \frac{n}{a(a+nb)} $

لذا جواب مسئله فوق با توجه به رابطه ی اخیر برابر است با $ \frac{40}{a(a+40d)} $ که در آن $ d $ قدر نسبت دنباله ی حسابی است.

توسط fardina
ویرایش شده توسط admin
+1
ما یک دنباله حسابی داریم به صورت : $a_1, a_2, a_3,..., a_n=a_1+(n-1)d,...$ در اینصورت برای دنباله حسابی بالا این فرمول رو داریم: $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$.( که این مطلب با استقرا ثابت میشه).
توسط pulp
آقا خیلی ببخشید، ولی من نفهمیدم ، میشه بیشتر تجزیه اش کنید . با تشکر فراوان
توسط fardina
+1
خواهش میکنم. ولی نمیدونم دقیقا کجا رو متوجه نمیشید؟ ما برای هر  دنباله حسابی اون فرمول رو داریم. اگه اثبات اون فرمول رو میخواید باید در یک سوال جدید بپرسید.
توسط pulp
ویرایش شده توسط pulp
+1
قسمتی که نوشتید    $  \frac{n}{a _{1} a _{n +1}  }  $  $=$  $  \frac{1}{a _{n} a _{n + 1}   }  $  $ + $ $...$
توسط fardina
+1
خوب این فرموله دیگه. اثبات $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac{n}{a_1a_{n+1}}$ با استقرا به سادگی انجام میشه.(اگه در اثباتش مشکل دارید در یک سوال دیگه اثباتشو بپرسید) خوب حالا شما دنبال $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_{39}a_{40}}$ هستید یعنی $n+1=40$ و لذا باید$n=39$ بشه دیگه. پس بنا برفرمول بالا اگه $n$ رو $39$ بذارید داریم $\frac{n}{a_1a_{n+1}}=\frac{39}{a_1a_{39+1}}=\frac{39}{a_1a_{40}}$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...