به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
165 بازدید
در دبیرستان توسط Soheil pahlavani (76 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh

تمام اعداد صحیح $n$ را بیابید به طوریکه به ازای بعضی از $a,b$ صحیح ناصفر که $ a+b \neq 0 $ عبارت زیر برقرار باشد. $$ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}= \frac{n}{a+b} $$

توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
@Soheil_pahlavani عنوان پرسش را بهتر بنویسید، با فقط دیدن این عبارت خواننده متوجه نمی‌شود که پرسش چه می‌خواهد. عنوان پرسش باید به طور خلاصه به خواننده برساند که در پرسش چه چیزی خواسته شده است.

3 پاسخ

+3 امتیاز
توسط SN (249 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

باسلام.

$n,b,a\in\mathbb{Z} \Longrightarrow$

$\frac{1}{a} +\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} \Longrightarrow (a+b)^{2}=abn \Longrightarrow a^{2}+b^{2}+2ab = abn $

$ab \mid a^{2}+b^{2}+2ab\Longrightarrow ab \mid a^{2}+b^{2}$

فرض کنیم $d$ بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد $a$و $b$ باشد در نتیجه داریم :

$(a,b)=d \Longrightarrow a =da_{1} , b= db_{1} ,(a_{1},b_{1})=1$

$ab \mid a^{2}+b^{2} \Longrightarrow a_{1}b_{1} \mid a_{1}^{2}+b_{1}^{2}\Longrightarrow a_{1}\mid b_{1}^{2} \Longrightarrow a_{1} = b_{1}=1 \Longrightarrow a = \pm b,a+b \neq 0 \Longrightarrow a=b $


$ a^{2}+b^{2}+2ab = abn \Longrightarrow b^{2} +b^{2} + 2b^{2}=b^{2}n \Longrightarrow n=4$

توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@SN از $a^2+b^2+2ab\mid abn$ چگونه به $ab\mid a^2$ رسیدید؟ ممکن است $ab$ عبارت $a^2$ را نشمارد ولی عبارت $a^2+b^2$ را بشمارد. در این قسمت پرش دارید، یا باید این قسمت را توجیه کنید یا اثبات‌تان درست نیست و گام بعدی طور دیگر می‌شود.
توسط SN (249 امتیاز)
+1
@AmirHosein باسلام ، مرسی از تذکرتون ، اصلاح کردم .
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@SN بسیار عالی ۱+
+3 امتیاز
توسط Soheil pahlavani (76 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh

$$ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} $$ $$ \Rightarrow \frac{a+b}{a}+ \frac{a+b}{b}=n $$ $$ \Rightarrow \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}+2=n $$ $$ \Rightarrow \frac{b}{a}+ \frac{a}{b}=n-2 $$

$$ \color{red}{ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a=±b }$$

با توجه به اینکه $a \neq -b$؛ پس $a = b$. در نتیجه: $$ \Rightarrow \boxed{n=4} $$ توجه کنید که تنها مقدار قابل قبول برای عدد صحیح $n$، عدد صحیح ۴ است.

توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
@Soheil_pahlavani نوشته‌های ریاضی را بادقت و درست بنویسید. از اینکه $a+b\neq 0$ نتیجه نمی‌شود که $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b}$ پس همین دو خط شروع پاسخ‌تان اشتباه است، به بقیهٔ متن نگاه نکردم.
توسط Dana_Sotoudeh (2,091 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
سلام خدمت شما. پاسخشون رو ویرایش کردم.
توسط AmirHosein (17,822 امتیاز)
+1
@Dana_Sotoudeh خیلی خوب ولی ای کاش صبر می‌کردید تا مطمئن شوید نویسندهٔ پست متوجه مشکلِ معناییِ نوشته‌اش می‌شود یا خیر. نکتهٔ آمده در پاسخ نیز درست است ولی بهتر است برایش مرجع‌دهی شود یا اثباتش آورده‌شود یا دست‌کم بگویند فلان نکته برقرار است و اثباتش را به عنوان تمرین واگذار می‌کنیم و غیره تا خواننده فکر نکند بدون دلیل همینطوری گذاشته شده‌است، به‌ویژه امروزه که اکثر دانش‌آموزها مشکل درک مطلب دارند و می‌توانند فکر کنند که همینطوری می‌توانند از خطی به خط دیگر بروند و در نتیجه حتی نتیجه‌گیری‌های اشتباهی در پاسخ‌هایشان بنویسند.
+3 امتیاز
توسط parsnet4u (39 امتیاز)
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{n}{a+b} , \begin{cases}n,a,b & \in\mathbb{Z} \\a,b & \neq 0 \\ a+b & \neq 0\end{cases} \\ (a+b)^{2} = abn \Longrightarrow b=ak \\ (a+ak)^2 = a^2kn \Longrightarrow (k+1)^2 = kn\\ k^2+2k+1 = kn \Longrightarrow 1=kl \Longrightarrow k=1,l=1\\ \Longrightarrow b=a \Longrightarrow (2a)^2 = a^2n \Longrightarrow \boxed{n = 4}$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...