به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
122 بازدید
در دانشگاه توسط meh123456 (142 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

نشان دهید که اگر$A$و$B$ دو ماتریس ثابت $n \times n $با خاصیت $AB=BA$باشند رابطه زیر برقرار است: $e^{(A+B)t}=e^{At}e^{Bt}$.

مرجع: نظریه معادلات دیفرانسیل و سیستم های دینامیکی دکتر خیری

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (9,531 امتیاز)

از اینکه این دو ماتریس جابجا می‌شوند برای اینکه بتوانیم توان جمع‌شان را به شکل بسط نیوتن‌خیام بنویسیم استفاده می‌کنیم یعنی در تساوی سوم در محاسبهٔ زیر. $$\begin{array}{ll} e^{(A+B)t} & =\sum_{k=0}^\infty\frac{((A+B)t)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\frac{(At+Bt)^k}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\sum_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}(At)^i(Bt)^{k-i}}{k!}\\ & =\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^k\frac{(At)^i}{i!}\frac{(Bt)^{k-i}}{(k-i)!}\\ & =(\sum_{k=0}^\infty\frac{(At)^k}{k!})(\sum_{k=0}^\infty\frac{(Bt)^k}{k!})\\ & =e^{At}e^{Bt} \end{array}$$

+1 امتیاز
توسط kazomano (2,206 امتیاز)

می‌دانیم جواب یکتای معادله $X'(t)=MX(t)$ با شرط اولیه $X(0)=I$ برابر $e^{tM} $ . قرار می دهیم $X(t)= e^{At} e^{Bt} $ و از طرفین نسبت به t مشتق میگیریم داریم

$X'(t)=Ae^{At} e^{Bt}+e^{At} B e^{Bt}=(A+B)e^{At} e^{Bt} ?????$ پس $X'(t)=(A+B)X(t) $ بنابراین $ e^{(A+B)t} =e^{At} e^{Bt}$.

علامت سوال رو میتونید با نوشتن بسط e و جابه جایی بودن ماتریس ها توجیه کنین که برعهده خودتون.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...