به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
121 بازدید
در دبیرستان توسط محمدقادری (1 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari

$tan^2{10} +tan^2{50} +tan^2{70} $ حاصل عبارت رابیابید. خودم اومدم اول سعی کردم اون توان دو ها رو از بین ببرم اول برحسب سینوس کسینوس نوشتم بعد با اتحادش همشون به کسینوس هایی تبدیل شد ولی خیلی ناجور بودن ساده هم نمیشو و مخرج مشترک گرفتنش ام دردسر بود یه راه دیگه هم رفتم که ده رو نوشتم سی سوم یا بقیرو تقسیم بر ۳ کردم که همشونو داریم تانژانتاشو ولی یکم طولانی میشه دنبال یه راه تکنیکی و قشنگم

توسط mahdiahmadileedari (2,544 امتیاز)
+3
محمد قادری@ سوال را ویرایش کردم اما لطفا عنوان مناسب برای سوال بنویسید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط medanaee (80 امتیاز)
نمایش از نو توسط medanaee

$$tan^2{10} +tan^2{50} +tan^2{70}$$

به منظور حل این سوال از فرمول زیر استفاده می کنیم:

$$tan^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{1+cos(2x)} $$

بنابراین حاصل برابر است با: $$\frac{1-cos20}{1+cos20}+\frac{1-cos100}{1+cos100}+\frac{1-cos140}{1+cos140}$$ با کمی دقت متوجه خواهیم شد: $$cos(3×20)=cos60=0.5$$ $$cos(3×100)=cos300=cos(300-360)=cos(-60)=cos60=0.5$$ $$cos(3×140)=cos420=cos(420-360)=cos60=0.5$$ حال می دانیم $cos(3 \alpha )=4cos^3( \alpha )-3cos( \alpha )$ در این فرمول اگر $ \alpha $ را برابر 20، 100 و 140 درجه قرار دهیم، حاصل 0.5 به ما خواهد داد. پس می توان گفت $cos20 $ و $cos100 $ و $cos140 $، ریشه های معادله درجه 3 زیر هستند: $$4x^3-3x=0.5$$

با تبدیل معادله به فرم استاندارد داریم: $$8x^3-6x-1=0$$ چون کسینوس 3 زاویه ای که گفته شد، ریشه های این معادله اند، پس طبق فرمول ویت می توان گفت: $$cos20+cos100+cos140=0$$ $$cos20×cos100+cos20×cos140+cos100×cos140= \frac{-6}{8}= \frac{-3}{4} $$ $$cos20×cos100×cos140= -\frac{-1}{8}= \frac{1}{8} $$ حال اگر $cos20 $ و $cos100 $ و $cos140 $ را به ترتیب برابر $a$ و $b$ و $c$ قرار دهیم، داریم: $$a+b+c=0$$ $$ab+ac+bc= \frac{-6}{8}= \frac{-3}{4} $$ $$abc= -\frac{-1}{8}= \frac{1}{8} $$ حال حاصل عبارت فوق را می خواهیم: $$\frac{1-cos20}{1+cos20}+\frac{1-cos100}{1+cos100}+\frac{1-cos140}{1+cos140}=\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$$ با گرفتن مخرج مشترک داریم:

$$\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}= \frac{(1-a)(1+b)(1+c)+(1-b)(1+a)(1+c)+(1-c)(1+a)(1+b)}{(1+a)(1+b)(1+c)}= \frac{(1-a+b+c+bc-ac-ab-abc)+(1+a-b+c-bc+ac-ab-abc)+(1+a+b-c-bc-ac+ab-abc)}{1+a+b+c+bc+ac+ab+abc} $$ $$= \frac{3+(a+b+c)-(ab+ac+bc)-3abc}{1+(a+b+c)+(bc+ac+ab)+abc} $$ $$= \frac{3+0- \frac{-3}{4}- \frac{3}{8} }{1+0-\frac{3}{4}+ \frac{1}{8}}= \frac{ \frac{27}{8} }{ \frac{3}{8} } =9 $$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...