به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
160 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط 0arezoo
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید که مجموعه کانتور $C $یک زیر مجوعه ناشمارا از $\mathbb R$ است

مرجع: انالیز حقیقی
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
منظورتون از $C$ چیه خوب؟!!
دارای دیدگاه توسط fardina
+1
خانم Oarezoo میشه بگید چرا دیدگاه و پاسخمو نامناسب نشانه گذاری کردید؟؟
بالاخره اگر منظورتون از $C$ مجموعه ای غیر از کانتور بوده بفرمایید؟؟ در غیر اینصورت چه دلیلی برای نامناسب بودن وجود دارد؟
 با نشانه گذاری برای تمام مدیران ایمیل ارسال میشه که محتوای بدی در سایت منتشر شده و همه سعی میکنن به سایت سر بزنن. پس لطفا بیشتر در طرح سوال و فعالیتتون در سایت دقت کنید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

فکر کنم منظور شما از $c$ مجموعه ی کانتور باشد که از حذف بازه های یک سوم مانی از مجموعه ی $[0,1]$ به وجود می آید.

در اینصورت نشان می دهیم که $card(C)=card([0,1])$ :

می دانیم که هر عدد $x\in [0,1]$ دارای بسط سه سه ای به صورت $x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_i}{3^n}$ است که $\alpha_i\in\{0,1,2\}$ .

اما بنابر تعریف مجموعه ی کانتور می دانیم

$x\in C$ اگر و تنها اگر $ x=\sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_i}{3^n}$ که $\alpha_i \in\{0,2\}$ .

یعنی مجموعه کانتور عبارت است از نقاطی در بازه $[0,1]$ که بسط آن عدد در پتیه $3$ فقط از صفر و دو تشکیل شده است.(چرا؟)

در اینصورت تابع $f:C\to [0,1]$ را به صورت $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\frac{\alpha_i}2}{2^n}$

در اینصورت چون $\alpha_i\in\{0,2\}$ لذا $\frac{\alpha_i}2\in\{0,1\}$ . اما به وضوح این تابع پوشا است(چرا؟) پس $card(C)\geq card([0,1])$ .

از طرفی چون $C\subset [0,1]$ لذا $card(C)\leq card([0,1])$ .

بنابراین ثابت کردیم $card(C)=card([0,1])$ وحکم ثابت است.

دارای دیدگاه توسط
ویرایش شده توسط erfanm
+2
به روش دیگه ای هم میشه این رو ثابت کرد.اول ثابت کنیم که مجموعه کانتور کامله.بعد چون هر مجموعه کاملی در مجموعه اعداد حقیقی ناشماراست( طبق قضیه ای در مبانی آنالیز ریاضی) مسئله حل میشه.
دارای دیدگاه توسط 0arezoo
+1
ببخشید fardinaمن ناخاسته پاسخ شمارابه عنوان نامناسب نشانه گذاری کرده بودم پاسخ شما عالی بود واز لطف شما سپاسگذارم

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...