به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
167 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود به همراهان گرامی. سه‌تاییهای $a,b,c$ طبیعی را بگونه‌ای بیابید که در آن $a>b$، و معادله دیوفانتی $a^2-b^2=c^3$ برقرار باشد. طرح سؤال از جانب بنده است و نمیدانم راه حل دیگری دارد یا نه. نمونه جوابها عبارتند از:

$3^2-1^2=2^3$

$10^2-6^2=4^3$

با سپاس پیشین از توجه دوستان گرامی.

توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+1
بنظرم سوال خیلی گنگ است.،اولا در مورد C چیزی مطرح نشد، ثانیا منظور از شرط چیست، معادلهٔ دیوفانتی شرطی نیاز نداره.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود به دوست و استاد عزیز. توجه مفیدتون باعث شد نکته بهتری را بیابم. سؤالم را با نکته خوبتان اصلاح کردم. با سپاس از همراهی خوبتون.1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@amir7788 : با درود مجدد به دوست گرامی. برای راهنمایی عرض میکنم. همانطور که با مقادیر دلخواه در اتحاد
$(m^2+n^2)^2-(m^2-n^2)^2=(2mn)^2$
و با شرط $m>n$ سه تاییهای فیثاغورثی بدست میاد، اتحادی درباره تفاضل دو مربع وجود داره که حاصل آن مکعب کامل میشه. با استفاده از آن اتحاد، مقادیر خاص a,b,c بدست میاد. دیدگاه خوبتون باعث بدست آوردن آن اتحاد شد. با سپاس صمیمانه.

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
انتخاب شده توسط ناصر آهنگرپور
 
بهترین پاسخ

با فرض $$a-b=x>0, a+b=y>x $$ داریم $$xy=c^3 $$ این معادله دو دسته جواب به صورت زیر دارد

دسته اول) $$x= n^3, y=m^3, c=nm , n< m $$ در نتیجه برای هر n و m با زوجیت یکسان معادله دارای جوای زیر می باشه $$a= \frac{n^3 +m^3 }{2}, b= \frac{-n^3 +m^3 }{2}, c=nm $$

دسته دوم) $$x=m n^2, y=nm^2, c=nm , n< m $$ در نتیجه برای هر n و m طبیعی معادله دارای جواب زیر نیز می باشه $$a= \frac{mn^2 +nm^2}{2}, b= \frac{nm^2-mn^2 }{2}, c=nm $$ ‌

توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
+1
@amir7788 : پاسخی متفاوت اما شایسته و درخور انتخاب بهترین است. پاسخم را آماده کرده ام و در فرصت مناسب تقدیم حضور دوستان گرامی خواهم کرد. با سپاس از همراهی خوبتان.1+
0 امتیاز
توسط moh_amin (352 امتیاز)

اعداد $x=2^{2n}$ و $y=2^n$ را در نظر داشته باشید. فرض کنید:

$a=\frac{x+y}{2}$

$b=\frac{x-y}{2}$

در این صورت داریم:

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=xy=2^{3n}=(2^n)^3$

این معادله به ازای هر مقدار طبیعی $n$ صدق میکند.

توسط amir7788 (2,577 امتیاز)
+1
جواب کامل نمی باشه دارای جوابهای دیگر نیز می باشه.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@moh_amin : ممنون از همراهیتون. این پاسخ همه جوابهای ممکن رو نمیده. با اینحال تلاشتون قابل تقدیره.
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@amir7788 : هردو دیدگاهتون مناسب بود. با سپاس از همراهی خوبتون. 1+
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
@amir7788 و @moh_amin : با تشکر از همراهیتان درحال آماده سازی پاسخم هستم. اتحاد بدست آمده برای خودم هم غیرمنتظره بود. بزودی آنرا با دوستان گرامی به اشتراک خواهم گذاشت.
0 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (1,867 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور

با درود به بازدیدگنندگان و همراهان بنده در حل این سؤال. پاسخ بنده به کاملی پاسخ استاد گرامی @amir7788 نیست ولی ذکر آن خالی از لطف نیست. ابتدا دو اتحاد مجزا با نتیجه یکسان را معرفی میکنم که در آن همه متغیرها طبیعی هستند.

اگر $a=2m^3+n^3$ , $b=2m^3-n^3$ , $c=2mn$ داریم:

$(1:)\quad(2m^3+n^3)^2-(2m^3-n^3)^2=(2mn)^3$

و اگر $a=m^3+2n^3$ , $b=m^3-2n^3$ , $c=2mn$ داریم:

$(2:)\quad(m^3+2n^3)^2-(m^3-2n^3)^2=(2mn)^3$

اثبات این دو اتحاد بسیار ساده است و آنرا بعهده توان حتمی دوستان گرامی میگذارم. اما دو نکته مهم در این اتحادها وجود داره.

(1:) مکعب هر عدد زوجی را میتوان بشرط $m \neq n$ به دو حالت مجزا از تفاضل دو مربع تبدیل کرد.

(2:) اگر پرانتز دارای علامت منفی داخلی، عددی منفی شد، چون توان دوم آن مثبت خواهد بود، از علامت منفی آن میتوان صرفنظر کرد.

از همه بازدیدکنندگان و همراهان گرامی تلاشگر در حل این سؤال سپاسگزارم. تندرست و سرفراز باشید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...