به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
70 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط matt (390 امتیاز)

فرض کنید چند جمله ای درجه دو $ax^2+bc+c$ در شرایط زیر صدق کند:

$a>0~,~a+b+c \ge 0~,~a-b+c\ge0$

$a-c\ge0~,~b^2-4ac\ge0 $

ثابت کنید معادله $ax^2+bx+c=0$ دو جواب حقیقی در بازه $[-1,1]$ دارد.

تلاش : کافی است اثبات کنیم که ریشه کوچکتر معادله بزرگتر از $-1$ و ریشه بزرگتر، کوچکتر از $1$ است.

$-1\le\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\le \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\le 1$

که با بررسی جداگانه دو نابرابری‌ به این دو رسیدم :

$a-b-c\ge0~,~a-c\ge0$

دومی که فرض مسأله است برای درستی اولی چه میتوان گفت یا راه بهتری برای اثبات وجود دارد؟

منبع : سوال از یکی کتاب های آمادگی المپیاد دانش‌آموزی است.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Elyas1 (4,063 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

قسمتی که در تلاش نوشته‌اید را بررسی می‌کنیم.

ریشه کوچکتر معادله بزرگتر مساوی از $-1$ باشد. یعنی:

$$\begin{align} -1 \leq \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac} }{2a} &\Longleftrightarrow -2a \leq -b- \sqrt{b^2-4ac}\\ & \Longleftrightarrow 2a-b \geq \sqrt{b^2-4ac}\\ & \Longleftrightarrow (2a-b)^2 \geq b^2-4ac\\ & \Longleftrightarrow b^2-4ab + 4a^2 \geq b^2-4ac\\ & \Longleftrightarrow 4a^2+4ac- 4ab \geq 0\\ & \Longleftrightarrow a+c-b \geq 0 \end{align}$$

که این نامساوی همان فرض است. پس نامساوی اول درست است. البته باید نشان بدهیم که $2a-b \geq 0$ است. برای اثبات این نامساوی می‌توان نوشت:

$$a-c \geq 0 , \space a-b+c \geq 0 \Longrightarrow 2a-b \geq 0$$

حالا ریشه بزرگتر باید از $1$ کمتر باشد.

$$\begin{align} \frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \leq 1 &\Longleftrightarrow \sqrt{b^2-4ac} \leq 2a+b\\ &\Longleftrightarrow b^2 -4ac \leq (2a+b)^2= 4a^2+4ab + b^2\\ & \Longleftrightarrow 0 \leq a+b+c \end{align}$$

که این هم همان فرض مسئله است. پس نامساوی اول درست است. در اینجا مانند قبل نشان می‌دهیم که $2a+b \geq 0$ است. می‌توان نوشت:

$$a-c \geq 0 , \space a+b+c \geq 0 \Longrightarrow 2a+b \geq 0 $$
توسط matt (390 امتیاز)
+1
@Elyas1
عالی و کامل بود‌. فقط برای بهتر نشان داده شدن راه حل های طولانی از `\begin{align}` استفاده کنید. ساختار کلی‌ش رو میتونید در اینترنت پیدا کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...