به نام خدا.
قسمتی که در تلاش نوشته‌اید را بررسی می‌کنیم.
ریشه کوچکتر معادله بزرگتر مساوی از $-1$ باشد. یعنی:
$$\begin{align}
-1 \leq \frac{-b- \sqrt{b^2-4ac} }{2a} &\Longleftrightarrow -2a \leq -b- \sqrt{b^2-4ac}\\
& \Longleftrightarrow 2a-b \geq \sqrt{b^2-4ac}\\
& \Longleftrightarrow (2a-b)^2 \geq b^2-4ac\\
& \Longleftrightarrow b^2-4ab + 4a^2 \geq b^2-4ac\\
& \Longleftrightarrow 4a^2+4ac- 4ab \geq 0\\
& \Longleftrightarrow a+c-b \geq 0
\end{align}$$
که این نامساوی همان فرض است. پس نامساوی اول درست است. البته باید نشان بدهیم که $2a-b \geq 0$ است. برای اثبات این نامساوی میتوان نوشت:
$$a-c \geq 0 , \space a-b+c \geq 0 \Longrightarrow 2a-b \geq 0$$
حالا ریشه بزرگتر باید از $1$ کمتر باشد.
$$\begin{align}
\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \leq 1 &\Longleftrightarrow \sqrt{b^2-4ac} \leq 2a+b\\
&\Longleftrightarrow b^2 -4ac \leq (2a+b)^2= 4a^2+4ab + b^2\\
& \Longleftrightarrow 0 \leq a+b+c
\end{align}$$
که این هم همان فرض مسئله است. پس نامساوی اول درست است. در اینجا مانند قبل نشان می‌دهیم که $2a+b \geq 0$ است. میتوان نوشت:
$$a-c \geq 0 , \space a+b+c \geq 0 \Longrightarrow 2a+b \geq 0 $$
