اگر ابتدا ۱۰ واحد به صورت بیفزائید عدد پسین $\frac{4+10}{10}$ میشود، اگر گام دوم ۴ واحد به مخرج بیفزائيد عدد پسین $\frac{4+10}{10+4}$ میشود. اگر این دو عمل را جابجا پیاده کنیم یعنی نخست ۴ واحد به مخرج و سپس ۱۰ واحد به صورت، آنگاه ابتدا عدد $\frac{4}{10+4}$ و سپس $\frac{4+10}{10+4}$ را داریم. چیزی که در حال مشاهده هستید این است که اگر عمل نخست را $n$ بار و عمل دوم را $m$ بار پیاده کنید، بدون اهمیت اینکه این عملها با چه ترتیبی انجام شوند، حاصل برابر خواهد شد با $\frac{4+10n}{10+4m}$ (حتی اگر این دو عمل را لابلای هم انجام دهید). اکنون پرسش شما به پرسشِ بهینهسازیِ زیر تبدیل میشود.
$$\begin{array}{l}
\min\;n+m\\
\text{s.t. }\frac{4+10n}{10+4m}=\frac{4}{10}\\
m,n\in\mathbb{I}=\mathbb{N}\cup\lbrace 0\rbrace
\end{array}$$
شرط بهینهسازی را سادهتر میکنیم.
\begin{align}
\frac{4+10n}{10+4m}=\frac{4}{10} &\Longrightarrow 40+100n=40+16m\\
&\Longrightarrow 100n=16m\\
&\Longrightarrow 25n=4m
\end{align}
پس تابع هدف را میتوانیم یکبار به شکل $\frac{29}{4}n$ و یک بار به شکل $\frac{29}{25}m$ بنویسیم. چون باید عددی صحیح شود پس باید $4\mid n$ و $25\mid m$. کوچکترین گزینهها غیر از جفتِ $(0,0)$، برابر با $(m,n)=(25,4)$ است. پس کمترین تعداد گام لازم ۲۹ است که ترتیبشان مهم نیست.
توجه کنید که اگر شرط خاصی روی اینکه چه زمانی کدام عمل را میتوانیم انجام بدهیم وجود داشت، آنگاه نمیتوانستیم به همین سادگی سریع نتیجهگیری بالا را بکنیم.
