به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
72 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

در کتاب هرزوگ هیبی صفحه ی 136 دو تعریف معادل برای$shellable$ بیان شده است. با ذکر مثالی معادل بودن انها را بیان کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید تعریف اول برقرار باشد یعنی یک ترتیب مانند $ F_{1} , F_{2} , F_{3} ,..., F_{m} $ موجود باشد که زیر مجتمع $ < F_{1} ,..., F_{i-1} > \cap < F_{i} > $ محض و از بعد $dimF_{i} -1 $ باشد نشان می دهیم برای هر $ j< i $ یک $l \in F_{i} - F_{j} $ و $k< i $وجود دارد بطوریکه $ F_{i} - F_{k} =\{l\} $ است.

می دانیم $F_{i} \cap F_{j} \subseteq F_{i} $اگر $ \mid F_{i} \cap F_{j} \mid = \mid F_{i} \mid -1 $ آنگاه قرار می دهیم $ k=j $ فرض کنید که $ \mid F_{i} \cap F_{j} \mid < \mid F_{i} \mid -1 $ و از آنجایی که $ < F_{1} ,..., F_{i-1} > \cap < F_{i} > $ محض است لذا $\mid F_{i} \cap F_{j} \mid $ یک فست نیست یعنی $ k $ ای وجود دارد که $ \mid F_{i} \cap F_{k} \mid = \mid F_{i} \mid -1 $ و $\mid F_{i} \cap F_{j} \mid \subseteq \mid F_{i} \cap F_{k} \mid $

از آنجایی که $ \mid F_{i} \cap F_{k} \mid = \mid F_{i} \mid -1 $ لذا $ F_{i} - F_{k} =\{l\} $ یعنی $l \notin F_{i} \cap F_{k} $ پس $l \notin F_{i} \cap F_{j} $ یعنی $ F_{j} $\$ l \in F_{i} $ و حکم ثابت می شود.

برگشت واضح است چون بیان میکند اگر $j< i$ و $ \mid F_{i} \cap F_{j} \mid \neq \mid F_{i} \mid -1 $ آنگاه این عنصر در $ < F_{1} ,..., F_{i-1} > \cap < F_{i} > $ فست نیست و عنصری دیگر وجود دارد که از بعد $ dimF_{i} -1 $ است و شامل $\mid F_{i} \cap F_{j}$ نیز است لذا این زیر مجتمع محض و از بعد $ dimF_{i} -1 $ است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...