به چند روش می توان ۱۰ نفر را در ۵ گروه ۲ نفره گذاشت؟

Question

۱۰ نفر را به چند طریق می‌توان به ۵ تیم دو نفره تقسیم کرد؟

تو پاسخنامه نوشته: یکی از افراد را درنظر بگیرید. این فرد به ۹ طریق هم تیمی خود را انتخاب کند، یک فرد دیگر به ۷ طریق و.... پس پاسخ برابر
۹×۷×۵×۳×۱ است. می‌خواستم ببینم نمی‌شه همون اول بگیم گروه اول ۱۰ حالت و دوم ۸ حالت و ... و جواب بشه ۱۰×۸×۶×۴×۲ ؟

Answer 1

منظور شما از ایده تان مشخص نیست. در هر حال جواب پاسخنامه کاملا صحیح است. یکی از آن 10 نفر را انتخاب کنید. برای انتخاب این شخص نیاز به شمارش چیز خاصی نیست زیرا این شخص قطعا باید در یکی از دسته ها قرار بگیرد و تیم ها هیچ ترتیبی ندارند. این شخص در یکی از گروه ها قرار می گیرد و طبیعتا برای هم تیمی اش، 9 نفر می توانند در تیم قرار گیرند. در گام بعد به دلخواه یکی دیگر از افراد باقیمانده را انتخاب کنید. این شخص نیز در یکی از گروه ها قرار می گیرد و الی آخر. پس جواب نهایتا همان:

$$9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1$$

میشود. اگر این استدلال شما را قانع نمی کند. به تیم ها شماره اختصاص دهید (در واقع ترتیب در تیم ها را نیز دخیل میکنیم). برای تیم اول باید دو نفر از 10 را انتخاب کنیم. برای تیم دوم 2 نفر از 8 نفر باقیمانده و ... الی آخر. پس در این حالت تعداد حالات ممکن میشود:

$$ . \binom{10}{2} \binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}$$

اما توجه کنید که در مساله اصلی ترتیب تیم ها مهم نبوده است. پس باید جواب بالا را بر $5!$ تقسیم کنیم (چرا؟). جواب نهایی میشود: $$. \frac{\binom{10}{2} \binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{5!}=9 \times 7 \times 5 \times 3 \times 1$$

Answer 2

خیر. برای هر عددی که گذاشتید باید دلیل بیاورید. خب فرض کنیم علت ۱۰ ای که گذاشتید، انتخاب یک نفر از ۱۰ نفر بوده، علت ۸ چیست؟ فردی که کنار فرد یکُم می‌گذارید به یک حالت انتخاب می‌شده‌است که همینطوری با فردِ نخست‌ انتخاب‌شده فرضش کردید و پریدید به عدد ۸؟

یک روش دیگر برای حل این پرسش به این شکل است. ۲ نفر از ۱۰ نفر انتخاب کنیم و در یک گروه بگذاریم، $\binom{10}{2}$. سپس از ۸ تای باقیمانده، ۲ نفر انتخاب کنیم و در گروه دیگر بگذاریم، $\binom{8}{2}$. سپس ۲ نفر از ۶ نفر باقیمانده، $\binom{6}{2}$. سپس ۲ نفر از ۴ نفر باقیمانده، $\binom{4}{2}$. و در آخر ۲ نفر باقیمانده مجبور هستند در یک گروه باشند، $\binom{2}{2}$. اما توجه کنید که اینکه علی و حسن ابتدا با هم در یک گروه قرار بگیرند یا اینکه در آخرین گام با هم در یک گروه قرار بگیرند فرقی ندارد، یعنی ترتیبِ این ۵ گروه مهم نیست، پس یک تقسیم بر $5!$ هم داریم.

$$\frac{\binom{10}{2}\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{5!}=945$$

که با $9\times 7\times 5\times 3\times 1$ برابر است و نه با حاصلضربی که شما نوشتید.