به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+4 امتیاز
334 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

سلام چرا $ 0/9999...$ یا همون $ 0/ \overline{9} $ کسر مولدش برابر $1$ میشود. مگه میشه $1$ مساوی $ 0/ \overline{9} $ باشه این غلط نیست؟

ممنون میشم توضیحاتی بدید قانع شم چون روشی که منجر به این میشه که $1$ مساوی $ 0/ \overline{9} $ باشه مگه روش درستی نیست ممنون میشم دقیق وجامع علتها ودلایل رو بفرمایید.

سلام چرا $ 0/9999...$ یا همون $ 0/ \overline{9} $کسر مولدش برابر $1$میشود.

دارای دیدگاه توسط
+1
توجه کنین که این عدد کسر مولد ندارد. زیرا یک کسر نیست.
دارای دیدگاه توسط
برخی از اثبات‌های ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ به ویژگی‌های حسابی اعداد حقیقی وابسته‌اند: در اعداد حقیقی مقادیر بسیار کوچک غیر صفر وجود ندارند. به ویژه مقدار ۱-۰٫۹۹۹‎…‎. کوچک‌تر از هر مقدار کسری است، لذا باید از مقادیر بی‌نهایت کوچک باشد؛ از آن‌جا که اعداد حقیقی دارای مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نمی‌باشند، لذا اختلاف آن‌ها صفر است، و در نتیجه مقدار این دو عبارت برابر می‌باشد.

با این وجود، سیستم‌های متصل ترتیبی بر پایه ساختار جبری، وجود دارند که شامل جایگزین‌های مختلفی برای اعداد حقیقی می‌باشند و که غیر ارشمیدسی هستند. برای مثال، عدد دوگانه شامل یک علامت به معنای بی‌نهایت کوچک می‌باشد (ε)، مشابه واحد فرضی i در سیستم عدد مختلط، ε۲ = ۰. از ای ن ساختار در مشتق‌گیری استفاده می‌شود. اعداد دوگانه می‌توانند ترکیبی الفبایی فراهم کنند، که در آن مضاربی از ε عناصر غیر ارشمیدسی می‌باشند. به‌یاد داشته‌باشید این وجود، اعداد دوگانه نیز عبارت ۰٫۹۹۹‎…‎=۱ را تصدیق می‌کنند. باید توجه کرد که از آن‌جا که در سیستم اعداد دوگانه، ε وجود دارد، لذا ε/۲ نیز وجود دارد، پس ε کوچکترین مقدار مثبت عدد دوگانه نیست، و البته در اعداد حقیقی چنینی عددی وجود ندارد

8 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$$\begin{align}0. \overline{9} =0.999...&=\frac 9{10}+\frac 9{100}+\frac 9{1000}+...\\&=\frac 9{10}+\frac 9{10^2}+\frac 9{10^3}+...\end{align}$$ که این هم مجموع نامتناهی جملات یک دنباله هندسی با جمله اول $a=\frac 9{10}$ و قدرنسبت $q=\frac 1{10}$ است. و چنین مجموع هایی برابر است با $\frac a{1-q}=\frac{\frac 9{10}}{1-\frac 1{10}}=\frac{\frac 9{10}}{\frac 9{10}}=1$

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$$0.\overline9=\lim_{n \to \infty} 0.99.....9 = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{9}{10^k}=\lim_{n \to \infty} 1-\frac{1}{10^n}=1-\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10^n}=1$$

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

معلومه دیگه یک رو تقسیم بر سه کن بعد طرفین رو در سه ضرب کن.تو مجله برهان فکرکنم چندتا اثبات براش ذکر شده بود قبلا.

دارای دیدگاه توسط
+1
ممنون میشک یکی از اساتید پاسخی ارائه بدن
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

فاصله $1$ با $0.9$ برابر است با $0.1$

فاصله $1$ با $0.99$ برابر است با $0.01$

$ \vdots $

فاصله $1$ با $0. \underbrace{9...9} _{n} $ برابر است با $0. \underbrace{0...0} _{n-1}1$

وقتی بینهایت $9$ داریم اصلا فاصله ای بین دو عدد وجود ندارد در واقع دو عدد یکی خواهند بود نه فقط برای این عدد بلکه برای تمام اعداد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت $۹$ نشان داد مثلا $1.23=1.22 \overline{9} $

در واقع از لحاظ ریاض به کمک آنالیز می توان ثابت کرد به ازای هر عدد مثبت(هرچقدر کوچک) فاصله ی 1 با $0.\overline{9}$ از آن هم کمتر است و این یعنی باید این فاصله صفر باشد(وگرنه طبق خاصیت ارشمیدسی اعداد فاصله ی این از عددی مثبت بزرگتر خواهد بود) یعنی $1-0.\overline{9}=0$ پس $1=0.\overline{9}$ اثبات های زیادی هم برای این موضوع وجود دارد از جمله اینکه از$ \frac{1}{9} =0111111$ و ضرب طرفین در $9$ استفاده کنیم.

برای اطلاع از اثبات های مختلف و اطلاعات بیشتر می تونید به صفحه مربوطه در ویکی پدیا مراجعه کنید.

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط
$$0/ \overline{9} \times 10=9/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} \times (9+1)=9/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} (9)+0/ \overline{9} \times( 1)=9/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} (9)=9/ \overline{9}-0/ \overline{9} $$ $$0/ \overline{9} (9)=9$$ $$0/ \overline{9} = \frac{9}{9} $$ $$0/ \overline{9} = 1 $$
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

$\frac{1}{3} = 0.\bar{3}$

$3\times \left( \frac{1}{3} \right) = \left( 0.\bar{3} \right) \times 3$

$\frac{3}{3} = 0.\bar{9}$

.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

با سلام .

همانطور که میدانید چون بلا فاصله بعد از صفر دوره گردش شروع به تکرار میشود ، کسر مولّد آن متناوب ساده است.

از طرفی در فرمول کسر های متناوب ساده داریم :

$$ \frac{ارقام عدد غیر گردش - عدد بدون ممیز }{به ازای تعداد ارقام دوره گردش عدد 9} $$

البته این موضوع $ 0/ \bar{9} = 1 $ یک قرارداد محسوب میشود که در بسیاری از کار ها از جمله کد نویسی استفاده میشود

و در اخر پس از جایگزینی داریم :

$$ \frac{9}{9}= 1 $$

این موضوع را به اعدادی نظیر $3/ \bar{9} $<math> و <math>$5/ \bar{9} $ نیز میتوان تعمیم داد . یعنی :

$$3/ \bar{9}=4 $$ $$5/ \bar{9}=6 $$

موفق باشید .

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

با سلام .

در پاسخ اول راه حل تستی را مطرح کردم .

هم اکنون به طور تشریحی از طریق حل معادله ثابت میکنیم . پس $ 0/ \bar{9} $ را $ \chi $ در نظر میگیریم. داریم :

$$ \chi =0/ \bar{9} $$ $$10 \chi =9/ \bar{9} $$ $$10 \chi - \chi =9/ \bar{9} - 0/ \bar{9} $$ سپس عدد بدست امده را بر ضریب مجهول تقسیم میکنیم تا$ \chi $ مان بدست اید .

$$9 \chi =9$$

و در آخر :

$$ \chi = \frac{9}{9} = 1 $$

موفق باشید .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...