به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
154 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567
ویرایش شده توسط fardina

$ a^{n} =a^{m} $

ثابت كنيد كه$n=m$

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اولا همیشه چنین چیزی درست نیست و باید $a \neq 0 $ و $a \neq 1$ باشد حال فرض $a \neq 0 $ باشد دو حالت داریم یا $ a > 0 $و $a \neq 1$ یا $ a < 0 $و $a \neq 1$ فرض کنید $ a > 0 $و $a \neq 1$ باشد

$ log _{a} $ یک تابع است لذا به ازای هر ورودی فقط و فقط یک خروجی دارد و به ازای ورودی $ a^{n} $ خروجی $n$ را داریم و به ازای همان مقدار ورودی یعنی $ a^{m} $ خروجی $ m $ را داریم و از آنجایی که یک خروجی دارد لذا باید $n=m $باشد.

برای حالت دوم از آنجایی که $ a^{n}=a^{m} $ لذا $ \mid a^{n} \mid = \mid a^{m} \mid $ یعنی $ \mid a \mid ^{n}= \mid a \mid ^{m} $</math > حال قرار می دهیم <math>$b= \mid a \mid $ پس داریم: $ b^{n}=b^{m} $ که در آن $ b > 0 $و $b \neq 1$ و طبق حالت اول باید $n=m $ باشد.


اگر $ a $ منفی باشد آنگاه قرار می دهیم $ a= - \mid a \mid $ و با جایگذاری خواهیم داشت

$ a^{n}=a^{m} \Rightarrow (-1)^{n} (\mid a \mid)^{n}=(-1)^{m}(\mid a \mid)^{m} $ و از آنجایی که علامت دو طرف یکی است لذا $(-1)^{n}=(-1)^{m}$ و با حذف از طرفین $(\mid a \mid)^{n}=(\mid a \mid)^{m}$ را خواهیم داشت و مانند حالت های بالا حکم ثابت می شود.

توسط amirm20
@erfanm

شما گفتيد:$ (-1)^{m} = (-1)^{n} $  $m=n \longleftarrow $

پس اينا چطوري توجيه ميشه !! $ (-1)^{2} = (-1)^{4} $

$4 \neq 2$

و در آخر اينكه در حال كلي اين رابطه ($ a^{n} = a^{m} $  $n=m \longleftarrow $)در چه
 حالتي برقراره؟؟؟
ممنون
توسط erfanm
من چیزی که نوشتید رو نگفتم
لطفا با دقت بیشتری ملاحظه بفرمایید.
توسط M.B
+1
ممنون بابت پاسخ جامعتون. فقط اینکه لگاریتم یک تابع هست  از همین نکته نتیجه نمیشه؟
توسط erfanm
همونیه که شما فرمودید فقط باید دامنه لگاریتم رو هم در نظر بگیریم
پس اگر $a$ منفی باشه نمیتوان راحت لگاریتم گرفت
توسط M.B
خب ما از تابع بودن لگاریتم برای اثبات این حکم استفاده کردیم ؛ در حالیکه برای اثبات تابع بودن لگاریتم دقیقا باید از این حکم استفاده کنیم!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...