به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
109 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

آیا رابطه $\|A\|=\max_{i,j}|a_{ij}|$یک نرم ماتریسی است؟

مرجع: داتا

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

ثابت می کنیم رابطه داده شده یک نرم روی ماتریس های $n\times n$ حقیقی است.

  1. واضح است که $\|A\|\geq 0$
  2. $$\begin{align}\|A\|=0&\iff \max_{i,j}|a_{ij}|=0\\ &\iff \forall i,j :|a_{ij}|=0\\ &\iff \forall i,j:a_{ij}=0\\ & \iff A=0\end{align}$$
  3. اگر $c\in\mathbb R$ یک عدد حقیقی باشد در اینصورت: $$\|cA\|=\max_{i,j}|ca_{ij}|=\max_{i,j}|c||a_{ij}|=|c|\max_{i,j}|a_{ij}|=|c|\|A\|$$
  4. برای هر دو ماتریس $A,B$ داریم: $$\|A+B\|=\max_{i,j}|a_{ij}+b_{ij}|\leq \max_{i,j}|a_{ij}|+\max_{i,j}|b_{ij}|=\|A\|+\|B\|$$

مطالب بالا برای ماتریس های $m\times n$ هم درست است.

برای ماتریس های $n\times n$ توجه کنید که رابطه ذکر شده در $\|AB\|\leq \|A\|\|B\\$ صدق نمی کند. به عنوان مثال قرار دهید $A= \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}$ و $B= \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 1& 0\end{bmatrix}$ در اینصورت $AB= \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} $ و لذا $\|AB\|=2$ در حالیکه $\|A\|\|B\|=1\times 1=1$ .

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...