Question

نشان دهید: $$ \sum _ 1^ \infty \frac{ \Gamma ^{2}(n) }{ 2^{-n} (2n-1)!} = \pi $$ We know $$\beta (n,n)= \frac{ \Gamma (n) \Gamma(n) }{ \Gamma (2n)} $$

Answer 1

قبل از هر چیز این دنباله بنابه آزمون نسبت همگراست:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{2^{n+1} \Gamma ^2(n+1)}{(2n+1)!} \frac{(2n-1)!}{2^n \Gamma ^2(n)}= \frac{2n^2 \Gamma ^2(n)}{(2n+1)(2n) \Gamma ^2(n)}= \frac{n}{2n+2} \longrightarrow \frac{1}{2}<1 $

از طرفی دیگر:

$a_n= \frac{2^nB(n,n) \Gamma (2n)}{ \Gamma (2n)}=2^nB(n,n)= \frac{2^n((n-1)!)^2}{(2n-1)!} \longrightarrow \pi $

سری اخیر حالت خاصی از سری فوق هندسیست که به علت طولانی بودن اثبات شما را به مرجع زیر رجوع می دهم :

https://core.ac.uk/download/pdf/82084914.pdf

$ \Box $

Answer 2

$$ \Gamma (2n)=(2n-1)!, \beta (n,n)= \frac{ \Gamma (n) \Gamma (n)}{ \Gamma (2n)} \Longrightarrow S= \sum _ {n=1} ^ \infty \frac{ \beta (n,n)}{ 2^{-n} } = \sum _ {n=1}^ \infty \frac{1}{ 2^{-n} } \int _0^1 x^{n-1} (1-x)^{n-1} dx= \sum _ {n=1} ^ \infty 2. 2^{n-1} \int 0^1 (x- x^{2}) ^{n-1} dx= \int _0^1( \sum _ {n=1}^ \infty 2. 2^{n-1} (x- x^{2} )^{n-1} )dx,* \sum _ {n=1} ^ \infty 2^{n-1} (x- x^{2}) ^{n-1} = \frac{1}{1-2(x- x^{2} )} \hookrightarrow Geometric series sum, so,S= \int _0^12. \frac{1}{1-(2x-2 x^{2}) }dx= \int _0^1 \frac{2dx}{2 x^{2} -2x+1} = \int _0^1 \frac{dx}{ x^{2} -x+ \frac{1}{2} } = \int _0^1 \frac{dx}{ (x- \frac{1}{2} )^{2} + \frac{1}{4} } = \frac{1}{ \frac{1}{2} } Arctan (2x-1) | _0^1=2( \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} )= \pi $$