به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
714 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

اثبات نامساوی های زیر رو میخواستم؟

$$- \ \sqrt{a^2+b^2} \leq a\sin x \pm b\cos x \leq \sqrt{a^2+b^2} $$

$$ \frac{1}{2^n-1} \leq \sin^{2n} x+ \cos^{2n} x \leq 1$$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

ابتدا برای اثبات $|a\sin x+b\cos x|\leq \sqrt{a^2+b^2}$ فقط کافی است نامساوی زیر را به روش بازگشتی ثابت کنید: $$(a\sin x+b\cos x)^2\leq (a^2+b^2)(\sin ^2 x+\cos^2 x)$$

و در صورتی که به جای $b$ قرار دهید $-b$ داریم $$|a\sin x-b\cos x|\leq \sqrt{a^2+(-b)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$$ .

در مورد نامساوی دوم نمیدونم چه سودی داره این نامساوی؟ یا شاید اشتباه نوشتین. ما همواره برای هر $x\in\mathbb R$ داریم $\sin^2x+\cos^2x=1$ لذا $\sin^2 n+\cos^2 n=1$ و لذا $\sin^2n+\cos^2n\leq 1$ و چون همیشه $\frac1{2^n-1}\leq 1=\sin^2n+\cos^2n$ لذا نامساوی دوم واضح است.

دارای دیدگاه توسط
+1
@fardina
ممنون..
ببخشید نامساوی دوم اشتباه نوشتم ویرایشش کردم ممنون میشم اثباتش کنید
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

برای نامساوی اول از نامساوی کشی-شوارتس میرویم. enter image description here نامساوی دوم هم اشتباه نوشته شده ولی اثباتش (نامساوی اصلی نه این یکی) با استفاده از تعمیم نامساوی حسابی-مربعی انجام میشود.

دارای دیدگاه توسط
ممنون جالب بود.اون موقع که من گفتم اشتباه نوشتن واقعا اشتباه نوشته بودن. الان صورت مساله درسته.
لطفا اینجا رو ببینید http://math.irancircle.com/3038/%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%D9%86%D8%A7%D9%85%D8%B3%D8%A7%D9%88%DB%8C%24%24-frac-1-2-n-1-leq-sin-2n-x-cos-2n-x-leq-1%24%24
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...