به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
110 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

فرض کنید $R$یک حوزه صحیح باشدومیدان نباشد .اگر$M$ یک $R$مدول راست باشد که هم تصویری است وهم انژکتیو ثابت کنید$M$برابر صفر است.

مرجع: جزوه دکتر اکبری

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

چون $ M $پروژکتیو(تصویری) است لذا $ R $مدول آزادی مانند $ F $ موجود است که $F=M \coprod K $.فرض کنید که$ M \neq 0 $ باشد( به تناقض می رسیم) پس $ m \neq 0 $در $ M $ موجود است پس $m \in F $ است و چون آزاد است لذا میتوان $ m $ را به صورت $ \sum r_{i} e_{{k}_{i}} $ نوشت. که در آن $ r_{i} $ها عناصری در $ R $ هستند چون $m \neq 0 $ لذا حد اقل یکی از این $ r_{i}$ها مخالف صفر است. بدون کاستن از کلیت مساله فرض کنید $r_{1}\neq 0$ باشد نشان می دهیم هر عنصر مخالف صفر در $ R$ دارای وارون است و از آنجایی که $R$ حوزه صحیح بود لذا میدان می شود و این با فرض مساله در تناقض خواهد بود و حکم ثابت می شود.

فرض کنید $ r \in R $ عنصری مخالف صفر باشد چون $R$ حوزه صحیح است لذا $rr_{1} \neq 0 $است. حال از آنجایی که $ M $ انژکتیو است لذا بخش پذیر است لذا $rr_{1} \mid _{M} m $ یعنی $ m^{'} \in M $(پس $m^{'} \in F $) وجود دارد که $ rr_{1} m^{'}=m$ از آنجایی که $ m^{'} \in F$ داریم $m^{'}= \sum r_{i}^{'} e_{{t}_{i} }$ پس $\sum rr_{1}r_{i}^{'} e_{{t}_{i} }= \sum r_{i} e_{{k}_{i}} $ و از آنجایی که هر عنصر نمایش منحصربفرد دارد لذا یک $ t_{j} $ وجود دارد که $e_{{t}_{j} } =e_{{k}_{1}} $ لذا ضرایب هم برابرند پس $ rr_{1}r_{j}^{'} = r_{1} $ و چون قلمرو صحیح داریم لذا از اینکه $r_{1}(rr_{i}^{'} -1)=0 $ داریم $rr_{i}^{'} =1 $.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...