به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
149 بازدید
در دانشگاه توسط rahaa math (108 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

چرا متر $d$ با متر $\min\{1,d\}$ معادل است؟ اگر $d< 1$ باشد بدیهی است. ولی اگر $d>1$ باشه چطوری معادل میشن؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (16,008 امتیاز)

اگر $d$ یک متر دلخواه روی $M$ باشد شما می خواهید ثابت کنید که $d'=\min{1,d(x,y)}$ یک متر است؟ یا اینکه می دانید $d'$ یک متر است و میخواید ثابت کنید با $d$ معادل است؟

چون معادل بودن یعنی اینکه $a,b> 0$ موجود باشند که $$ad(x,y)\leq d'(x,y)\leq bd(x,y)$$ ولی این دو امکان ندارد که معادل باشند. چون اگر همچین $a$ ی موجود باشد آنگاه $ad(x,y)\leq d'(x,y)\leq 1$ و لذا $d(x,y)\leq \frac 1a$ و در اینصورت هر زیر مجموعه ی $M$ کراندار است! که این برای هر فضای متریکی درست نیست. مثلا در $\mathbb R$ اینطور نیست که هر زیرمجموعه آن کراندار باشد!

توسط
+1
دقیقا منظور معادل بودن این دو در هر فضایی است. و این روشی برای ساختن متر کراندار از هر متر دلخواهی است. این سوال به عنوان سوال امتحانی توپولوژی در یکی از کشورها بوده. به همین خاطر من احتمال دادم خودم دارم جایی اشتباه میکنم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...