به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
159 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

$$ \frac{1}{2^{n-1}} \leq \sin^{2n} x+ \cos^{2n} x \leq 1$$

دارای دیدگاه توسط
+1
لطفا این نامساوی رو اصلاح کنید..n-1 روی 2 است.
دارای دیدگاه توسط
+1
درسته بهتره ویرایش بشه.
ولی$\frac{1}{2^{n-1}}> \frac{1}{2^n-1}$ رو هم داریم. درسته؟
دارای دیدگاه توسط
+1
اینجوری قشنگ تره!!!!!
دارای دیدگاه توسط
+1
درسته ولی نامساوی بالا کلی تره

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

واضح است که $\sin^{2n}x+\cos^{2n}x\leq (sin^2x+\cos^2x)^n=1^2=1$

و برای نامساوی سمت چپ از یک حالت خاص از نامساوی ین سن کمک میگیریم که می گوید اگر $a,b>0$ اعدادی حقیقی باشند آنگاه برای هر عدد طبیعی $n$ داریم $(\frac{a+b}2)^n\leq \frac{a^n+b^n}2$

پس اگر قرار دهیم $a=\sin^2x$ و $b=\cos^2x$ در اینصورت داریم $$(\frac 12)^n=(\frac{\sin^2x+\cos^2x}2)^n\leq \frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}2$$ که نامساوی سمت چپ را نتیجه می دهد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...