به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
55 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

اگر $a$ و $b$ ریشه های معادلۀ $ x^{2}-3x+1=0 $ باشند ، $A= \frac{a}{ \sqrt{b} }+ \frac{b}{ \sqrt{a} } $ را بدست آورید .

مرجع: وبلاگ نمونه سوالات سمپاد و تیز هوشان ( سمپاد آزمون )

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اگر $x_1,x_2$ ریشه های معادله ی $ax^2+bx+c=0$ باشند آنگاه $S=x_1+x_2=\frac{-b}a $ و $P=x_1.x_2=\frac ca$ . و همچنین به راحتی می توان ثابت کرد چنانچه $x_1,x_2$ مثبت باشند آنگاه $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{S+2\sqrt P}$ .

در اینصورت در مورد مساله شما چون $\sqrt {x_1}$ و $\sqrt{x_2}$ داریم پس حتما $x_1,x_2$ مثبت بوده اند. لذا: $$\begin{align}\frac{a}{\sqrt b}+\frac b{\sqrt a}&=\frac{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(\sqrt{S+2\sqrt P})(S-\sqrt P)}{\sqrt P}\end{align}$$

کافی است جاگذاری کرده و به دست آورید.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...