به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
221 بازدید
در دبیرستان توسط pulp
ویرایش شده توسط fardina

می خواستم اینو اثبات کنین: اگر $ a_n $ یک دنباله حسابی باشد یعنی $ a_n=a_1+(n-1)d $ که $ a_1 $ جمله اول و $ d $ قدرنسبت است آنگاه:

$$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac n{a_1a_{n+1}}$$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

اثبات رو با استقرا انجام میدیم:

برای $ n=1 $ داریم: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac 1{a_1a_2} $

فرض کنیم برای $ n $ درست باشد: $$ \frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}=\frac n{a_1a_{n+1}}$$

باید ثابت کنیم برای $n+1 $ نیز درست است:
$$\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}+ \frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}=\frac{n+1}{a_1a_{n+1}}$$

برای اثبات با استفاده از فرض استقرا داریم: $$\require{cancel}\begin{align} \underbrace{\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}}+\\ \frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}&=\frac n{a_1a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{na_{n+2}+a_1}{a_1a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{n(a_1+(n+2-1)d)+a_1}{a_1a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{(n+1)a_1+n(n+1)d}{a_1a_{n+1}a_{n+2}}\\ &=\frac{(n+1)\overbrace{(a_1+nd)}^{\cancel{a_{n+1}}}}{a_1\cancel{a_{n+1}}a_{n+2}}\\ &=\frac{n+1}{a_1a_{n+2}} \end{align}$$

توسط pulp
+1
این فرمول برای چه جایی استفاده میشه؟
توسط fardina
خوب واضحه دیگه وقتی در یک دنباله حسابی $a_n$ ازمون بخوان $\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+...+\frac{1}{a_na_{n+1}}$ رو به دست بیاریم. مثل سوال http://math.irancircle.com/index.php?qa=253&qa_1=%D8%AF%D8%B3%D8%AA-%D8%A2%D9%88%D8%B1%D8%AF%D9%86-frac-a_1a_2-frac-a_2a_3-frac-a_-40-%24%D8%AF%D8%B1-%D8%AF%D9%86%D8%A8%D8%A7%D9%84%D9%87-%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%DB%8C
که خودتون پرسیدین

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...