به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
323 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $ (R,m) $ یک حلقه ی موضعی و نوتری باشد که $dim R = 1 $ است ثابت کنید که گزاره های زیر معادل هستند:

$ i $ حلقه ی $ R $ منظم است.

$ ii$ هر ایده آل سره ی $ R $ برابر توانی از ایده آلماکسیمال $R $ است.

$ iii $ عنصر $ a \in R $ موجود است که هر ایده آل ناصفر $ R $ بصورت $ < a >^{h} $ است که در آن $ h \geq 0 $ است.

$iv $ حلقه ی $ R $ یک حلقه ی $PID $ است.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm
ویرایش شده توسط erfanm

اثبات $ i \Rightarrow ii$:

طبق تعریف $ m $ یک ایده آل اصلی است و توسط یک عنصر تولید می شود.حال فرض کنید $ 0 \subset I \subset R $ یک ایده آل دلخواه باشد از آنجایی که تنها ایده آل های اول $ R $ برابر $ 0 $ و $ m $ هستند($dimR=1 $) پس $I $ یک ایده آل $m $ اولیه است .پس $t \in N $ موجود است که $ m^{t} \subseteq I $ است

حال حلقه ی $ \frac{R}{m^{t} } $ را در نظر میگیریم این حلقه نوتری است و هر ایده آل اول آن ماکسیمال نیز است پس این حلقه آرتینی است. و ایده آل ماکسیمال آن هم با توجه به اینکه $ m $ یک ایده آل اصلی است، یک ایده آل اصلی (ایده آل ماکسیمال آن برابر$ \frac{m}{m^{t} } $ است) است. اما طبق قضیه زیر $ \frac{I}{m^{t} } $ توانی از $ \frac{m}{m^{t} } $ است پس $ I$ توانی از $ m $ است.

فرض کنید که $(R,m)$ حلقه ای آرتینی و موضعی باشد به طوریکه ایده آل ماکسیمال آن یک ایده آل اصلی باشد آنگاه هر ایده آل از آن یک توان از ایده آل $m$ است.

اثبات $ ii \Rightarrow iii$:

از آنجایی که $dim_{K} \frac{m}{m^{2} } \geq 1$ است پس $ m^{2} \subset m $ یعنی $a \in m \setminus m^{2} $ موجود است حال از اینکه $ Ra $ یک ایده آل از $ R $ است نتیجه می شود که توانی از $ m $ است فرض کنید $Ra=m^{n} $ اما از آنجایی که $a \notin m^{2} $ پس باید $ n=1 $ باشد پس $m=Ra $ اما از آنجایی که هر ایده آل از $ R$ به صورت توانی از $m $ است و $m=Ra $ پس هر ایده آل به صو رت $ R a^{h} $ است.

اثبات $ iii \Rightarrow iv$:

از آنجایی که هر ایده آل به صو رت $ R a^{h} $ است. پس هر ایده آل یک ایده آل اصلی است یعنی حلقه ی $R$ یک $ PID $ است.

اثبات $ iv \Rightarrow i$:

میدانیم $dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } $ برابر است با تعداد مولد مینیمال $ m $ که با توجه به اینکه حلقه $PID $ است لذا $ m= < a > $ یعنی $ dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =1 $ است. اما طبق فرض $ dim R=1 $ پس $ dim _{K} \frac{m}{ m^{2} } =dim R $ یعنی حلقه منظم موضعی است.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...