به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
53 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

فرض کنید $ R$ یک حلقه ی $ UFD $ و $ S $ یک زیر مجموعه ی بسته ضربی $ R$ باشد و $ 0 \in S$. نشان دهید دهید $ S^{-1} R $ یک حلقه ی $ UFD $ است.

آیا برای $PID $ باز برقرار است؟

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

در واقع باید داشته باشیم $0 \notin S$ تا قضیه برقرار باشد

از اینکه $ $ یک $ $ است نتیجه میگیریم که $ $ یک قلمرو صحیح است پس با توجه به نکته اثبات شده در سوال $ R$ یک حلقه ی $ UFD $ است اگر وتنها اگر هر ایده آل اول $p $ که $ht \ p \leq 1 $ یک ایده آل اصلی باشد.

کافیست ثابت کنیم که هر ایده آل با هایت $1$ یک ایده آل اصلی است.

فرض کنید که $ q $ یک ایده آل اول در $ S^{-1} R $ باشد که $ ht(q)=1$ پس ایده آل اولی مانند $ P$ در $R $ وجود دارد که $P \cap S= \emptyset $ و $S^{-1} P=q $ و از آنجایی که موضعی سازی(لوکالیزیشن) هایت را تغییر نمی دهد پس $ ht(P)=1 $ پس طبق اینکه $ R$ یک $ UFD $ است داریم $P= < x >=xR $ پس $$q=S^{-1} P=S^{-1}< x >=< \frac{x}{1} > $$ یا $$q=S^{-1} P=PS^{-1}R=xR S^{-1}R=xS^{-1}R$$ و لذا حکم ثابت شد.

برای $ $ هم حکم برقرار است.

فرض کنید $I $ایده آلی در $S^{-1}R $ باشد لذا ایده آلی از $ R$ مانند $J $ موجود است که $J=R \cap I $ از آنجایی که $ R $ حلقه $ PID $ است لذا $J=(x) =xR $ پس: $$I=(R \cap I)S^{-1}R=xRS^{-1}R=xS^{-1}R$$ وحکم ثابت شد.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...