به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
180 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

نشان دهید برای تمام اعداد صحیح $n\geq m\geq 1 $ عبارت: $$\frac{gcd(m,n)}{n}{n\choose{m}} $$ یک عدد صحیح است.( منظور از $ gcd(a,b) $ بزرگترین مقسوم علیه مشترک $a $ و $b $ است.)

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

یک روش دیگه:

بنابر آنچه erfanmدر پاسخش نوشته داریم: $$ {n\choose {m}} =\frac nm{n-1\choose m-1}$$ و اعدادصحیح $a $ و $ b $ وجود دارند به طوریکه $$ gcd(n, m)=an+bm $$ بنابراین: $$\frac{gcd(m,n)}{n}{n\choose{m}}=\frac{an+bm}{n}{n\choose m}=a{n\choose m}+b{n-1\choose m-1} $$ و چون تمام مقادیر سمت راست اعداد صحیح هستند لذا مقدار مور نظر هم عدد صحیح هستند.

دارای دیدگاه توسط
+1
خلاصه, صریح  و زیبا عالی بود !
+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

میدانیم $\binom{n}{m} $ به ازای هر $ m,n $ همواره عدد صحیحی است. داریم: $$\begin{align} \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}& = \frac{n(n-1)!}{m(m-1)!((n-1)-(m-1))!} \\ &= \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} \end{align} $$

اگر قرار دهیم $ n=gcd(m,n)n' $ و$ m=gcd(m,n)m' $ عبارت بالا بصورت زیر در می آید: $$ \binom{n}{m} = \frac{n}{m} \binom{n-1}{m-1} = \frac{n'}{m'} \binom{n-1}{m-1}$$ و چون $\binom{n}{m} $ عددی صحیح است لذا باید $ m' $ عبارت $ \binom{n-1}{m-1} $ را عاد کند یعنی در واقع داریم: $$ \binom{n}{m} =n'K$$ که در آن $ K$ عددی صحیح و برابر $ \frac{ \binom{n-1}{m-1} }{m'} $ است.

حال به اثبات حکم مساله بپردازیم داریم: $$\frac{gcd(m,n)}{n}{n\choose{m}} =\frac{gcd(m,n)}{n}n'K= \frac{n}{n} K=K$$لذا عبارت داده شده یک عدد صحیح بوده و مقدار آن هم برابر$ \frac{ \binom{n-1}{m-1} }{m'} $است.

برای اثبات صحیح بودن $\binom{n}{m} $ چندین روش مختلف وجود داره یکیش توجه به اینکه $\binom{n}{m} $ برابر تعداد حالت های انتخاب $ m$ شی از میان $ n $ شی است. یا با استقرا و استفاده از قاعده پاسکال هم میتوان ثابت کرد که این عبارت یک عدد صحیح است.

دارای دیدگاه توسط
خیلی جالب بود.مرسی
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...