به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
54 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط

اثبات کنید که.. اگر$p$یکی از عوامل اول حاصلضرب$n!$ باشد تعداد عوامل اول$p$ (بزرگترین توان$p$)در این حاصلضرب برابر است با:

$$[ \frac{n}{p} ]+[ \frac{n}{p^2} ]+[ \frac{n}{p^3} ]+...+0$$

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

مضارب $p$ در $n!$ به صورت زیر هستند: $$p,2p,3p,...,t_1p\quad , t_1p\leq n,\ (t_1+1)p> n$$

و $t_1\in\mathbb N$ لذا $\frac np-1< t_1\leq \frac np$ بنابراین $t_1=[\frac np]$

حال مضارب $p^2$ را حساب کنیم: $$p^2,2p^2,3p^2,...,t_2p^2\quad, t_2p^2\leq n,(t_2+1)p^n> n$$ بنابراین مانند حالت قبل داریم $t_2=[\frac n{p^2}]$ و همچنین مضارب $p^3$و $p^4$و... را تا جایی حساب می کنیم که داشته باشیم $p^k\leq n$ ولی $p^{k+1}> n$ . بنابراین بزرگترین توانی از $p$ که $n!$ را می شمارد عبارت است از: $$\alpha=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]=[\frac np]+[\frac n{p^2}]+...+[\frac n{p^k}]+...$$

یعنی $\alpha\in\mathbb N$ به طوریکه $p^\alpha| n!$ اما $\require{cancel}p^{\alpha+1}\cancel{|}n!$

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...