به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
148 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

سوال 109 گروه آزمایشی علوم ریاضی

جواب کلی معادله زیر: $$ \frac{sinx+sin2x}{cosx+cos2x} =cotx$$

دارای دیدگاه توسط
+1
در این سوال دامنه تعریف عبارت در نظر گرفته نشده به همین دلیل سازمان سنجش
گزینه 4 را با تاثیر مثبت در نظر گرفته است.

2 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

از فرمول های جمع مثلثاتی داریم: $$\sin p+\sin q=2\sin(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)\\ \cos p+\cos q=2\cos(\frac{p+q}2)\cos(\frac{p-q}2)$$

پس داریم:

$$\left. \begin{array}{l} \sin x+\sin 2x=2\sin\frac{3x}2\cos \frac x2\\ \cos x+\cos 2x=2\cos\frac{3x}2\cos\frac x2 \end{array} \right\} \Rightarrow \require{cancel}\frac{\cancel{2}\sin\frac{3x}2\cancel{\cos\frac x2}}{\cancel{2}\cos \frac{3x}2\cancel{\cos \frac x2}}=\tan\frac{3x}2=\cot x$$

در نتیجه: $\tan \frac{3x}2=\tan(\frac\pi2-x)$

و چون $tan $ دارای دوره تناوب $k \pi$ است پس: $$k\pi+\frac\pi2-x=\frac{3x}2 \Rightarrow x=\frac\pi5(2k+1)$$

دارای دیدگاه توسط
+1
سلام استاد به نظرتون سوال 109 ریاضی مشکلی نداره؟آخه با توجه حل شما  که گزینه 4 رو پاسخ اعلام کردید میشه واسه گزینه 4 هم مثال نقض آورد مثلا اگه به گزینه 4 عدد 2 رو بدید و در معادله اصلی جاگذاری کنید مخرج طرف چپ معادله صفر میشه این معضل چگونه حل میشه
دارای دیدگاه توسط
+1
به نظرمیرسه که جاهایی رو که این توابع تعریف نشده اند در نظر نگرفتن. یعنی فرض کردن در جاهایی که این توابع تعریف شده اند این توابع در کجا برابر می شوند.
استاد behtash ممنون روشتون جالب بود.
+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اولین کار این است که ریشه های مخرج را جدا کنیم.

از $\cos x+\cos 2x=0$ داریم $$\begin{align}\cos x+(2\cos^2x-1)&=0\\ 2\cos^2x+\cos x-1&=0\end{align}$$

با قرار دادن $y=\cos x$ داریم $2y^2+y-1=0$ لذا $\Delta=9$ و $y=\frac{-1\pm \sqrt 9}{4}=\frac{1}{2},-1$ . از $ $ . از $\cos x=\frac 12$ داریم $$\color{red}{x=2k\pi\pm \frac\pi3=(6k\pm 1)\frac{\pi}{3}}$$ .

و از $\cos x=-1$ داریم $$\color{red}{x=2k\pi+\pi=(2k+1)\pi }$$ .

از طرف دیگر چون $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ و $\sin x=0$ داریم $$\color{red}{x=k\pi} $$ .

حال معادله را با طرفین وسطین و توجه به اینکه $ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $حل می کنیم: $$\begin{align}\sin^2x+\sin x\sin 2x&=\cos^2x+\cos x\cos 2x\\ \underbrace{\cos ^2x-\sin ^2 x}&+\underbrace{\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x}&=0\\ \cos 2x&+\cos 3x&=0\\ &2\cos\frac{5x}2\cos\frac{x}2&=0\end{align}$$

بنابراین یا $\cos \frac{5x}2=0$ یا $\cos \frac x2=0$

از $\cos \frac{5x}2=0$ خواهیم داشت $\frac{5x}2=k\pi+\frac\pi2 $ یعنی $$x=\frac{2k\pi}5+\frac\pi5=(2k+1)\frac\pi5 $$

و از $\cos \frac x2=0$ داریم $\frac x2=k\pi+\frac\pi2$ یعنی $$x=2k\pi+\pi $$

اما $x=2k\pi+\pi$ در بالا ذکر شد که مخرج را صفر می کند پس قابل قبول نیست.

اما آیا $ x=(2k+1)\frac\pi5 $ با سه تا مورد بالا در جایی برابر می شود؟ که باید آن نقاط را برداریم. مثلا اگر $(2k+1)\frac\pi5=(6k'+1)\frac{\pi}3 $ آنگاه $k=5k'+\frac 13 $ که امکان پذیر نیست چون باید $k$ عدد صحیح باشد ولی $5k'+\frac 13$ عدد صحیح نمی شود. و همچنین از $ (2k+1)\frac\pi5=(6k'-1)\frac{\pi}3 $ نتیجه می شود به طور مشابه که امکان پذیر نیست.

اما اگر $(2k+1)\frac\pi5=(2k'+1)\pi $ در اینصورت داریم $2k+1=10k'+5$ یعنی $k=5k'+2$ . پس تمام عبارات به صورت $(2k+1)\pi$ را شامل می شود. و اگر $(2k+1)\frac\pi5=k'\pi$ آنگاه $k=\frac{5k'}2-\frac 12$ که این هم امکان پذیر است.

بنابراین جواب به صورت $$x=(2k+1)\frac\pi5$$ خواهد بود که $x\neq (2k+1)\pi,k\pi$ . اما چون $k\pi$ شامل $(2k+1)\pi$ هم می شود لذا جواب به صورت ساده برابر است با

$$\{(2k+1)\frac \pi5:k\in\mathbb Z\} \setminus \{k\pi:k\in\mathbb Z\}\big)$$
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...