به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
3,016 بازدید
در دانشگاه توسط

سلام. لطفا در مورد پیوستگی لیبشیتز با یک مثال توضیح دهید. با تشکر

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina (15,407 امتیاز)

تابع $f:(X,d_1)\to (Y,d_2)$ که $(X,d_1),(Y,d_2)$ فضاهای متریک هستند را پیوسته لیپ شیتس با ثابت $K$ گوییم( یا $f$ در شرط لیپ شیتس با ثابت $k$ صدق می کند) هرگاه: $$d_2(f(x),f(y))\leq Kd_1(x,y)$$ برای هر $x,y\in X$ .

به عنوان مثال $f:\mathbb R\to \mathbb R$ که $f(x)=|x|$ لیپ شیتس با ثابت $1$ است( توجه کنید که متر روی $\mathbb R$ همان قدرمطلق در نظر میگیریم.) زیرا بنابر نامساوی مثلثی: $$|f(x)-f(y)|=||x|-|y||\leq |x-y|$$

و یا $f(x)=\frac12|x|$ با استدلال نشابه لیپ شیتس با ثابت $\frac 12$ است.

اگر $f:\mathbb R\to\mathbb R$ مشتق پذیر با مشتق کراندار باشد یعنی $|f'(x)|\leq K$ برای $k$ ی در اینصورت بنابر قضیه مقدار میانگین: $$|f(x)-f(y)|=|f'(c)(y-x)|=|f'(c)||x-y|\leq k|x-y|$$

پس مثلا $f(x)=\sin x$ چون مشتقپذیر با مشتق کراندار است بنابر استدلال بالا لیپ شیتس است(با ثابت $1$ )

به عنوان مثال دیگر $f_A:(X,d)\to\mathbb (R,|.|)$ که برای مجموعه ی$\emptyset\neq A\subset X$ به صورت $$f_A(x)=d(x,A)=\inf \big\{d(x,a):a\in A\big\} $$ تعریف می شود لیپ شیتس با ثابت $1$ است.(چرا؟)


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...