به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
1,089 بازدید
در دبیرستان توسط sahar3
ویرایش شده توسط saderi7

در هذلولي اثبات كنيد كه

$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $

$c$ فاصله كانون از مركز

$b$ فاصله راس ناكانوني از مركز

$a$ فاصله ي راس كانوني از مركز

enter image description here

توسط
+1
کتاب هندسه و مخروطات سال ششم ریاضی نظام قدیم رو سرچ کن و دانلود کن تمام این چیزا در مورد مقاطع مخروطی توش اثبات شده و فراتر از این حرفها هم اثبات شده.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط behruz
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

enter image description here

طبق تعریف، هذلولی مکان هندسی مجموعه نقاطی است از صفحه که تفاضل فاصله هر نقطه روی آن از دو نقطه به نام کانون مقداری است ثابت. یعنی با توجه به شکل بالا:

$$d_1-d_2=2a$$

زمانی که محور اصلی محور افقی باشد کانون ها در نقاط $(-c,0)$ و $(c,0)$ قرار دارند.

حال فرض کنید $d_1$ فاصله نقطه $(x,y)$ روی هذلولی از کانون $(-c,0)$ باشد که باتوجه به فرمول فاصله دو نقطه میتوان نوشت:

enter image description here

به همین صورت اگر $d_2$ فاصله همان نقطه از کانون $(c,0)$ باشد میتوان نوشت:

enter image description here

حال با توجه به تعریف هذلولی و دو رابطه ای که در بالا نوشتیم تعریف میکنیم:

$$d_1=c+a$$ و همچنین $$d_2=c-a$$ پس خواهیم داشت:

$$d_1-d_2=(c+a)-(c-a)=2a$$

پس برای هر نقطه $(x,y)$ روی هذلولی خواهیم داشت:$$d_1-d_2=2a$$

حالا که ما رابطه تفاضل فاصله ها را بلدیم، بدنبال معادله ی هذلولی میگردیم:

با $d_1-d_2=2a$ شروع میکنیم و از 2 رابطه ای که در ابتدا برای فاصله ها بدست آوردیم کمک میگیریم(با فرض اینکه $d_1>d_2$)و با جایگذاری آنها خواهیم داشت:

enter image description here

برای خلاص شدن از شر رادیکالها $2a$ را به سمت راست منتقل کرده و طرفین تساوی را به توان دو میرسانیم داریم:

enter image description here

enter image description here

enter image description here

با ساده کردن طرفین خواهیم داشت:

enter image description here

و با تقسیم طرفین بر 4 خواهیم داشت:

enter image description here

مجدد طرفین را به توان دو میرسانیم تا از شر رادیکال خلاص شویم پس داریم:

enter image description here

با بسط دادن $(x-c)^2$ و ضرب $a^2$ در پرانتز خواهیم داشت:

enter image description here

enter image description here

حال تمام متغیرها را به یک سمت و ثابت ها را به سمت دیگر تساوی برده خواهیم داشت:

enter image description here

با فاکتور گیری از $x^2$ در سمت چپ و $a^2$ در سمت راست خواهیم داشت:

enter image description here

توجه داریم که در هر دو سمت تساوی عبارت $c^2-a^2$ موجود است. تعریف میکنیم $c^2-a^2=b^2$ و آنرا جایگزین میکنیم خواهیم داشت:

enter image description here

در نهایت با تقسیم طرفین بر $a^2b^2 $ به معادله ی مربوط به هذلولی میرسیم یعنی:

enter image description here

که این معادله فرم استاندارد مهادله هذلولی خواهد بود و همچنین رابطه فیثاغورث $c^2=a^2+b^2$ را در اختیر ما قرار میدهد.

توسط sahar3
+1
@behruz
دليله اينكه $c^2-a^2$  $B^2$ تعريف كرديد چيه ؟؟
توسط behruz
ویرایش شده توسط behruz
+1
در حقیقت باید همچین تعریفی موجود باشد تا بتوان هذلولی را تعریف کرد و ساخت. یعنی هر نقطه دلخواهی را نمیتوان روی محور اصلی به عنوان کانون برگزید نقطه ای مورد قبول است که بتواند همچین شرایطی را فراهم کند در اینصورت است که میتوان به فرم استاندارد هذلولی رسید.
میتوید به آدرس زیر هم مراجعه کنید:
http://www.tebyan.net/newindex.aspx?pid=104328

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...