به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
95 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط sahar3
ویرایش شده توسط fardina

اگر $$ \lim_{x \to 0} \frac{xsinx}{a-cosbx} =1 $$

$a+b=?$

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina
 
بهترین پاسخ

چون $\lim_{x\to 0} x\sin x=0$ و $ \lim_{x \to 0} \frac{x\sin x}{a-\cos bx} =1 $ لذا باید $\lim_{x\to 0}a-\cos bx=0$ باشد. لذا $\lim_{x\to 0}\cos bx=a$ پس $a=1$ .

از طرفی با استفاده از بسطهای مک لورن توابع $\sin x\sim x+\cdots$ و $1-\cos bx\sim 2\sin^2\frac {bx}2\sim \frac {b^2x^2}2+\cdots$ داریم:

$$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{x\sin x}{a-\cos bx} &=1\\ \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\frac{b^2x^2}2}&=1\\ b^2&=2\end{align}$$ لذا $b=\pm\sqrt 2$ .

0 امتیاز
توسط good4us

enter image description here

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...