به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
812 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

مجموعه ای مثال بزنید که اندازه پذیر لبگ باشد اما بورل نباشد ؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

فرض کنید $ \phi (x) $ تابع کانتور باشد که تابعی پیوسته ی غیر نزولی روی بازه ی یکه ی (1و0) است. تعریف می کنیم $ \psi (x)=x+ \phi (x) $ که تابعی صعودی و پیوسته از بازه ی $[0,1] $ به بازه ی $[0,2] $ است. لذا برای هر $ y \in [0,2] $ یک $ x \in [0,1] $ منحصربفرد وجود دارد بطوریکه داریم $ \psi (x)=y $

پس هم $ \psi $ و هم $ \psi^{-1} $ مجموعه های بورل را به مجموعه های بورل می نگارند.

اگر $ C $ مجموعه ی کانتور باشه مجموعه ی غیر بورل $ S \subseteq \psi (C) $ را در نظر میگیریم چون $ \psi^{-1} (S) $ زیر مجموعه ی مجموعه ی کانتور است لذا لبگ اندازه پذیر است اما با توجه به آنچه گفته شد (کادر بالا) $ \psi^{-1} (S) $ غیر بورل است.(تصویر هر غیر بورل ، غیر بورل است)

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...