به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
291 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط

شرط اين كه خط با معادله ي :$ax+by+c=0$ بر دايره به معادله ي :$x^2+y^2=R^2$ مماس باشد چيست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اگر معادله خط را در معادله دایره جاگذاری کنیم باید ریشه مکرر داشته باشد. (اینجا رو ببینید)

با فرض اینکه $a,b\neq 0$ با ضرب طرفین معادله دایره در $b^2$ داریم:

$$b^2x^2+b^2y^2=R^2$$

اما $by=-(ax+c)$ با جاگذاری در معادله بالا داریم $b^2x^2+(ax+c)^2=R^2 $

بنابراین $(a^2+b^2)x^2+(2ac)x+c^2-R^2=0$

شرط ریشه مضاعف در معادلات درجه دوم این است که $\Delta=0$. یعنی $$(2ac)^2-4(a^2+b^2)(c^2-R^2)=0$$

با ساده کردن رابطه اخیر به $(a^2+b^2)R^2-b^2c^2=0$ میرسیم. پس شرط مماس بودن این است که مقادیر $a,b,c,R$ در این رابطه صدق کنند.

اگر رابطه را ساده تر کنیم $$R=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

دارای دیدگاه توسط
+2
@fardina
خيلي ممنون
اون لينك رو خوندم فقط ميشه به طور خلاصه بگيد دو منحني:$f(x,y)=0,g(x,y)=0$

در چه حالت مماس هستند ؟
بازم ممنون
دارای دیدگاه توسط
+1
سلام خواهش میکنم. لطفا سوال جدید ایجاد کنید.
مشابه همون لینکه فکر کنم. باید نقطه $(a, b)$ موجود باشد که $f(a,b)=g(a,b)=0$ و شیب هم در این نقاط برابر باشند. توجه کنید که شیب رو می تونید با استفاده از مشتق توابع ضمنی به دست بیارید.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...