به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
398 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط

شرط اين كه خط با معادله ي :$ax+by+c=0$ بر دايره به معادله ي :$x^2+y^2=R^2$ مماس باشد چيست.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط fardina

اگر معادله خط را در معادله دایره جاگذاری کنیم باید ریشه مکرر داشته باشد. (اینجا رو ببینید)

با فرض اینکه $a,b\neq 0$ با ضرب طرفین معادله دایره در $b^2$ داریم:

$$b^2x^2+b^2y^2=R^2$$

اما $by=-(ax+c)$ با جاگذاری در معادله بالا داریم $b^2x^2+(ax+c)^2=R^2 $

بنابراین $(a^2+b^2)x^2+(2ac)x+c^2-R^2=0$

شرط ریشه مضاعف در معادلات درجه دوم این است که $\Delta=0$. یعنی $$(2ac)^2-4(a^2+b^2)(c^2-R^2)=0$$

با ساده کردن رابطه اخیر به $(a^2+b^2)R^2-b^2c^2=0$ میرسیم. پس شرط مماس بودن این است که مقادیر $a,b,c,R$ در این رابطه صدق کنند.

اگر رابطه را ساده تر کنیم $$R=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

توسط
+2
@fardina
خيلي ممنون
اون لينك رو خوندم فقط ميشه به طور خلاصه بگيد دو منحني:$f(x,y)=0,g(x,y)=0$

در چه حالت مماس هستند ؟
بازم ممنون
توسط fardina
+1
سلام خواهش میکنم. لطفا سوال جدید ایجاد کنید.
مشابه همون لینکه فکر کنم. باید نقطه $(a, b)$ موجود باشد که $f(a,b)=g(a,b)=0$ و شیب هم در این نقاط برابر باشند. توجه کنید که شیب رو می تونید با استفاده از مشتق توابع ضمنی به دست بیارید.
hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...