به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
1,187 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط

با سلام

معادله مثلثاتی $$2sin^{2} (x)-sin(x)-1=0$$ را حل بفرمایید وبگویید چطور از جواب ها در پایان اجتماع بگیریم چون در گزینه ها جواب های به دست آمده به صورت یک جا بیان شده وبفرمایید در کل چطور از جوابهای کلی معادلات مثلثاتی اجتماع واشتراک میگیریم

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

قرار دهید $y=\sin x$ در اینصورت معادله به $2y^2-y-1=0$ تبدیل می شود که $\Delta=9$ بنابراین $y=\frac{1\pm\sqrt 9}{4}=1, -\frac 12$ .

اگر $\sin x=1$ در اینصورت $x=2k\pi+\frac\pi2$

اگر $\sin x=-\frac 12=\sin(-\frac\pi 6)$ در اینصورت $x=2k\pi-\frac \pi 6$ و $x=2k\pi+(\pi+\frac \pi6)$

یعنی مجموعه جواب برابر است با $$\lbrace 2k\pi+\frac\pi2:k\in \mathbb Z\rbrace\cup\lbrace 2k\pi-\frac\pi6:k\in\mathbb Z\rbrace\cup \lbrace 2k\pi+(\pi+\frac\pi 6):k\in\mathbb Z\rbrace$$

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

برای حل چنین معادلاتی قرار می دهیم $ t=sin(x) $ و با جایگذاری معادله درجه دوم $ 2t^{2} -t-1=0 $ را داریم که با حل آن(مثلا با روش دلتا )بدست می آید که $t=1 $و$t= \frac{-1}{2} $ و چون $ t=sin(x) $ باید دو معادله ی $ 1=sin(x) $ و $ \frac{-1}{2}=sin(x) $ را حل کنیم.

جواب معادله ی $ 1=sin(x) $ برابر است با $x=2k\pi + \alpha $ و $x=2k\pi +\pi- \alpha $ که در اینجا $ sin(x)= 1=sin( \frac{\pi}{2} )$ و لذا جواب $ x=2k\pi + \frac{\pi}{2}$ بدست می آید.

جواب معادله ی $ \frac{-1}{2}=sin(x) $ برابر است با $x=2k\pi + \alpha $ و $x=2k\pi +\pi- \alpha $ که در اینجا $ sin(x) =\frac{-1}{2}=sin( \pi+\frac{\pi}{6} )$ و لذا جواب $ x=2k\pi +\pi+\frac{\pi}{6}$ و $ x=2k\pi -\frac{\pi}{6}$ بدست می آید.

حال برای بدست آوردن اجتماع جوابها برای هر یک از جوابهای بدست آمده یک دسته جواب را که در محدوده $0$ تا $ 2\pi $ قرار دارند را می نویسیم داریم:

در جواب $ x=2k\pi + \frac{\pi}{2}$ فقط به ازای $k=0$جواب در محدوده قرار میگیرد و این جواب برابر است با $ \frac{\pi}{2} $

در جواب $ x=2k\pi +\pi+\frac{\pi}{6}$ فقط به ازای $k=0$جواب در محدوده قرار میگیرد و این جواب برابر است با $ \pi+\frac{\pi}{6} $

در جواب $ x=2k\pi -\frac{\pi}{6}$ فقط به ازای $k=1$جواب در محدوده قرار میگیرد و این جواب برابر است با $ \pi+\frac{5\pi}{6} $

در حالت کلی اگر جوابها دایره مثلثاتی را به $ n $ بخش مساوی تقسیم کنند جواب برابر می شود با $ \frac{2k\pi }{n} $به اضافه یکی از جوابها که معمولا اولین( کوچکترین) جواب رو می نویسیم.

حال اگر جوابها را روی دایره مثلثاتی در نظر بگیریم خواهیم دید که این 3 جواب دایره مثلثاتی را به 3 قسمت برابر تقسیم می کنند لذا جواب کل برابر است با $ \frac{2k\pi }{3}+ \frac{\pi}{2} $

enter image description here

دارای دیدگاه توسط
ممنون از پاسخ گویی عزیزان واساتید بزرگوار ممنون میشم توضیحی هم بفرمایید وقتی در پایان حل معادلات مثلثاتی به چند دسته جواب کلی میرسیم چگونه اشتراک واجتماع از چند دسته جواب  بگیریم و در نهایت یک جواب کلی منظورم دسته جواب کلی اعلام کنیم
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...