به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
1,751 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

مساحت بزرگترین مستطیل قابل محاط در یک دایره به شعاع $r$ را بیابید

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

enter image description here

بنابر شکل فوق می خواهیم مساحت $S=ab$ را ماکسیمم کنیم که $a$ طول مستطیل و $b$ عرض مستطیل است.

واضح است که $a,b\leq 2r$ . ولی چون دو تا متغیر داریم پس باید رابطه ای بین آنها پیدا کنیم. بنابر قضیه فیثاغورث داریم $$(2r)^2=a^2+b^2$$ لذا $a^2=4r^2-b^2$ بنابراین $a=\sqrt{4r^2-b^2}$

بنابراین $$S=ab=b\sqrt{4r^2-b^2}$$ که $0< b< 2r$ .

برای سادگی می توانیم به جای ماکسیمم کردن $S$ مقدار $S^2$ را ماکسیمم کنیم. چوم ماکسیمم هر دو در یک نقطه اتفاق می افتد.

پس $$S^2=b^2(4r^2-b^2)$$ با مشتق گیری داریم $8r^2b-4b^3=0$ که ریشه های برابر $0, \pm r\sqrt 2$ خواهد داشت. اما مقدار منفی قابل قبول نیست و در بین $0$ و $r\sqrt 2$ واضح است که $b=r\sqrt 2$ مقدار ماکسیمم را به دست می دهد. و مقدار ماکسیمم برابر خواهد بود با $$S_{max}=b\sqrt{4r^2-b^2}=r\sqrt{2}\sqrt{4r^2-2r^2}=r\sqrt 2\sqrt{2r^2}=2r^2$$ .

دارای دیدگاه قبل توسط
باید اشاره شود که r شعاع دایره است. تا با طول قطر که 2r میشود اشتباه نشود.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...