به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
59 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط

$$|x|?[x]$$

$$|[x]|?[|x|]$$

در حالت كلي به جاي(؟) چي ميتوان گذاشت (علامت نامساوي)؟

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط
ویرایش شده توسط

از رابطه$[x]\leq x< [x]+1$ می توانیم استفاده کنیم .

$|x|$ و $[x]$ در صورتی که $x$ عدد صحیح مثبتی باشد با هم برابرند. اگر $x$ عدد مثبتی باشد در اینصورت $[x]=[|x|]\leq |x|=x$ اما اگر $x$ عددی منفی باشد $[x]$ عددی منفی می شود در حالیکه $|x|$ عددی مثبت است یعنی $[x]\leq |x|$

پس همواره $[x]\leq |x|$ (این مطلب از روی شکل هم واضح است).

در مورد رابطه بین $ [|x|],|[x]| $ اگر $x\geq 0$ باشد در اینصورت $[x]$ هم بزرگتر یا مساوی صفر است پس قدر مطلق آنها برابر خودشان است یعنی $|[x]|=[x]=[|x|]$

اگر $x< 0$ در اینصورت $|x|=-x$ .

از طرفی می دانیم که $$ [-x] =\begin{cases}-[x] & x \in\mathbb Z\\\ -[x]-1 & x \in\mathbb R-\mathbb Z\end{cases} $$

بنابراین $[|x|]=[-x]$ یا برابر است با $-[x]$ یا $-[x]-1$ که در هر صورت کوچکتر یا مساوی $-[x]$ خواهد بود.

اما چون $x< 0$ در نظر گرفتیم پس حتما $[x]$ هم منفی است لذا $|[x]|=-[x]$

و در بالا هم گفتیم در هر صورت $[|x|]$ از $-[x]$ کوچکتر یا مساوی است پس یعنی ثابت کردیم $$[|x|]\leq |[x]|$$ برای $x< 0$

بنابراین برای هر $x\in\mathbb R$ ثابت کردیم که $[|x|]\leq |[x]|$

دارای دیدگاه توسط
+1
احسنت. استدلال بی نقصی بود
دارای دیدگاه توسط
+1
@M.B
خیلی ممنونم. خیلی خوبه کسایی مثل شما پاسخ ها رو میخونن و اگه اشکالی باشه گوشزد کنن.
دارای دیدگاه توسط
@fardina

دو سوال آياميتونيم بگوييم كه اين دو: $|[x]|,[|x|]$ مجموعه اعداد حسابي هستند؟!!!
دارای دیدگاه توسط
$\{[|x|]:x\in \mathbb R\}=\mathbb N\cup\{0\}$
چون قدر مطلق دارن فقط اعداد صحیح بزرگتر یا مساوی صفر میشن.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...