به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
135 بازدید
در دبیرستان توسط fardina

عددی که دقیقا سه مقسوم علیه اول داشته باشد را عدد ثالثیه مینامیم مثلا $60=2^2×3×5$ یک عدد ثالثیه است. حکم زیر را ثابت کنید:

اگر $ a^2\times b^2$ ثالثیه باشد آنگاه $ a\times b$ ثالثیه است.

توسط fardina
@فرید
تست تست

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط admin
یا صورت سوال را درست متوجه نشدم یا حدس می زنم جواب واضح است.
فرض کنیم         
                                                                                                                              $          a^{2}  \times  b^{2} =p^{ \alpha } q^{ \beta }  r^{ \gamma }$
که در آن
                                                                                                                                                                                         $. \alpha  , \beta , \gamma  > 0$
در این حالت
$a$
و
$b$
به ناچار باید دارای تجزیه هایی به صورت
    $a =  p^{  \alpha _{1} }  q^{  \beta _{1} }  r^{  \gamma _{1} } $ و
$b =  p^{  \alpha _{2} }  q^{  \beta _{2} }  r^{  \gamma _{2} }$ با$   \alpha _{i} , \beta _{i} ,  \gamma _{i}  \geq 0$
 باشند . چرا اگر قرار است عوامل اول دیگری غیر از این سه عامل داشته باشند در $a^{2}  \times  b^{2}$ ظاهر میشود که با فرض اولیه در تناقض است. بنابر این خواهیم داشت
$$                                                          a  \times b = p^{  \alpha _{1}  +  \alpha _{2} }  q^{  \beta _{1} +  \beta _{2} }  r^{  \gamma _{1} +  \gamma _{2} }  $$و
$$a^{2}  \times  b^{2}=p^{2{(  \alpha _{1}  +  \alpha _{2} })}  q^{ 2( \beta _{1} +  \beta _{2} )}  r^{2(  \gamma _{1} +  \gamma _{2} )} $$
یعنی
$$ 2  (  \alpha _{1}  + \alpha _{2}  ) =  \alpha  > 0 $$و$$ 2  (  \ \beta  _{1}  + \beta  _{2}  ) =  \beta  > 0 $$و
$$ 2  (  \ \ \gamma  _{1}  + \gamma  _{2}  ) =   \gamma   > 0 $$که از این نیز داریم
$$   \ \alpha   _{1} +   \alpha   _{2}  > 0 ,   \beta   _{1} +   \beta   _{2}  > 0, \gamma _{1} +   \gamma _{2}  > 0
$$
و حکم تمام است.
توسط fardina
+1
خیلی ممنون. فقط باید اشاره بشه که $p\neq q\neq r$.
توسط
انتقال داده شده توسط erfanm

یعنی جواب درست نیست؟!!

توسط erfanm
+1
اتفاقا خیلی جامع و کامل جواب دادید فقط اگه اشاره میکردید که اعداد اول $q$و$p$ و$r$ متمایز هستند اثبات فوق کامل میشد.
ممنون
hamyarapply

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...