به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
5,353 بازدید
در دانشگاه توسط eski
ویرایش شده توسط eski

در مورد سیگما جبر بورل و نحوه ساخت آن توضیح بدید لطفا.

و اینکه چطوری سیگما جبر بورل روی مجموعه اعداد حقیقی $ \mathbb{R} $ توسط مجموعه های بسته تولید می‌شود؟

توسط fardina
+1
سوال شما خیلی کلی است. بهتر است که در مورد قسمتی که مشکل دارید سوال بپرسید. در زیر توضیحات کوتاهی دادم امیدوارم به دردتون بخوره.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

ابتدا تعریف سیگما جبر را یادآوری می کنیم:

تعریف: فرض کنید $ X $ یک مجموعه غیرتهی باشد. منظور از یک $ \sigma $-جبر روی $ X $ یک گردایه غیرتهی $ \mathcal{A}\subset P(X)$ ( که $P(X) $ مجموعه توانی $ X$ است) است که تحت اجتماع شمارا و متمم بسته باشد یعنی:

  • اگر $ \{ E_i\}_{i=1}^\infty $ گردایه ای از مجموعه های واقع در $ \mathcal{A} $ باشد ( یعنی برای هر $ i $ داشته باشیم: $ E_i\in\mathcal{A} $ ) آنگاه $ \bigcup_{i=1}^\infty E_i \in A $ .
  • اگر $E\in \mathcal A $ آنگاه $ E^c\in \mathcal A $ .

می توان به آسانی نشان داد که:

اشتراک هر تعداد از $\sigma $-جبرهای روی $X $ یک سیگما جبر روی $X $ است.

و از این می توان نتیجه گرفت که:

تعریف: اگر $ \varepsilon$ یک زیرمجموعه $P(X) $ باشد آنگاه کوچکترین $ \sigma $ -جبر یکتای شامل $ \varepsilon $ که با $ M(\varepsilon) $ نمایش می دهیم وجود دارد. در واقع $M(\varepsilon) $ برابر است با اشتراک تمام $ \sigma $ -جبرهای شامل $\varepsilon $ . (توجه کنید که همیشه یک سیگماجبر شامل $ \varepsilon $ یعنی $P(X) $ وجود دارد.)

در اینصورت سیگما جبر بورل به صورت زیر تعریف می‌شود:

تعریف:اگر $X $ یک فضای متریک یا بطور کلی یک فضای توپولوژی باشد در اینصورت سیگماجبر تولید شده توسط خانواده مجموعه‌های باز $X $ ( یا به طور معادل خانواده مجموعه‌های بسته $X $ ) را سیگماجبر بورل روی $X $ می نامند و با $ \mathcal{B}_X $ نمایش می‌دهند.


حال اگر قرار دهیم $ X=\mathbb{R} $ یعنی مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیریم در اینصورت سیگماجبر بورل روی $ \mathbb{R} $ یعنی $\mathcal{B}_\mathbb{R} $ عبارت است از سیگماجبر تولید شده توسط تمام مجموعه‌های باز( یا به طور معادل توسط تمام مجموعه های بسته) در $ \mathbb{R} $ .

قضیه معروفی که در تمام کتاب‌های آنالیزی می توانید پیدا کنید از این قرار است:

سیگماجبر بورل $ \mathcal{B}_\mathbb{R} $ توسط خانواده های زیر نیز تولید می شود:

  1. بازه های باز $ \varepsilon_1=\{(a, b): a< b\} $
  2. بازه های بسته $\varepsilon_2=\{[a, b]: a< b\} $
  3. فاصله های نیم باز $ \varepsilon_4=\{(a, b]: a< b\} $ یا $\varepsilon_3=\{[a, b): a< b\} $
  4. مجموعه های به شکل $$\varepsilon_5=\{(a, \infty): a\in \mathbb{R}\} $$ یا $$\varepsilon_6=\{(-\infty, b): b\in\mathbb{R}\} $$
  5. مجموعه های به شکل $$ \varepsilon_7=\{[a, \infty): a\in \mathbb{R}\}$$ یا $$ \varepsilon_8=\{(-\infty, b]: b\in \mathbb{R}\}$$ .

اطلاعات وارد شده از کتاب آنالیزحقیقی فولند بود. شما می توانید مشابه مطالب بالا را در هر کتاب آنالیزی دیگری نیز بیابید.

توسط leila.a
+1
ممنون از اطلاعات مفیدی که پست کرده اید

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...