به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+3 امتیاز
112 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
ویرایش شده توسط

سلام

نشان دهید $\mathbb Q$ یک $G _\delta$ در $\mathbb R$ نیست.

با تشکر

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

اولا توجه کنید که مجموعه اعداد گنگ $\mathbb Q^c$ ک مجموعه $G_\delta$ است زیرا $\mathbb Q= \lbrace q_1,q_2,\cdots\rbrace $ در اینصورت $\mathbb Q^c=(\bigcup_{k=1}^\infty \lbrace q_k\rbrace )^c=\bigcap _{k=1}^\infty\lbrace q_k\rbrace ^c$ و توجه کنید که همه ی $ \lbrace q_k\rbrace^c $ ها در $\mathbb R$ چگال هم هستند.

حال فرض کنید مجموعه اعداد گویا یک مجموعه $G_\delta$ باشد. یعنی $\mathbb Q=\bigcap_1^\infty G_k$ که $G_k$ ها مجموعه هایی باز هستند.

در اینصورت به ازای هر $ k $ داریم $\mathbb Q\subset G_k$ و لذا $G_k$ ها در $\mathbb R$ چگال هستند.

در اینصورت $\mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q$ به صورت اشتراک شمارایی از مجموعه های باز چگال در $\mathbb R$ هستند که از قضیه کاتگوری بئر نتیجه می شود که باید چگال باشد. این درحالی است که $ \mathbb Q^c\bigcap \mathbb Q=\emptyset $ می دانیم که چگال نیست و به تناقض رسیدیم.

قضیه کاتگوری بئر: اگر $(X,\tau)$ یک فضای توپولوژیک کامل، هاسدورف و موضعا فشرده باشد و $ \lbrace G_k\rbrace $ گردایه ای شمارا از مجموعه های باز چگال در $X$ باشد در اینصورت $\bigcap G_k$ نیز در $X$ چگال است.

مرجع:https://en.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4_set

دارای دیدگاه توسط
+1
بسیار سپاس از اینکه متعهدانه ارائه پاسخ کردید. کاری که از من براتون برات نمیاد جز اینکه به نیابت از شما دعای سلامتی امام زمان (عج) رو بخونم.
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...