به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+2 امتیاز
106 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط
برچسب گذاری دوباره توسط

حلقه $ Z_{6} $ را در نظر بگیرید.

الف)تمام ایده آل های اول $ Z_{6} $ را محاسبه کنید.

ب) آیا در $ Z_{6} $ هر ایده آل اول یک ایده آل ماکسیمال نیز هست؟

ج)تمام عناصر معکوس پذیر و تمام عناصر پوچتوان $ Z_{6} $ رابنویسید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

ابتدا در حالت کلی سوال را حل میکنیم. اولا هر ایده آل $ \mathbb{Z}_{n} $ به صورت $ (d)$ است که در آن $ d \mid n$

و به راحتی ثابت می شود که $ (d) $ ایده آلی ماکسیمال است اگروتنها اگر $d $ یک عدد اول باشد که $ d \mid n$

چون در حلقه های متناهی هر ایده آل اول ایده آلی ماکسیمال است لذا از متناهی بودن $ \mathbb{Z}_{n} $ جواب قسمت ب بله است.

اگر $ n= {p_{1}}^{ \alpha _{1} }...{p_{t}}^{ \alpha _{t} } $ آنگاه اگر $a \in Nil( \mathbb{Z}_{n}) $ باید یک $ m $ وجود داشته باشد که $ a^{m}=0 \Rightarrow n \mid a^{m} $ پس $p_{1}...p_{t} \mid a $

و از آنجاییکه $ a \in \mathbb{Z}_{n}$ لذا $a < n$ پس جواب تمام مضارب $p_{1}...p_{t}$ که کمتر از $n$ باشند است.

عناصر وارون پذیر $ \mathbb{Z}_{n} $ عناصری هستند که $gcd(a,n)=1$ باشد.

حل سوال شما:

الف)$(2)$ , $(3)$

ب) بله

ج) $Nil( \mathbb{Z}_{6}) =(0)$

و عناصر وارون پذیر آن عناصری هستند که نسبت به 6 اول باشند که فقط 5 راداریم و وارون آن خود 5 است

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...