به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
567 بازدید
در دانشگاه توسط farshchian2090

با سلام تو این پیج میخواستم یکی از قضیه های کاربردی در بحث حلقه ها رو مطرح کنم که اثباتش رو توی کتاب مبانی جبر مدرسان شریف دیده بودم اما یه مقدار ناواضح هست و فهمش مشکله . از دوستان میخام اگه اثباتی ساده راحت براش سراغ دارن لطفا پست کنن .

صورت این قضیه به این شکله :

فرض کنید R و S دو حلقه جابجایی و یکدار باشند به طوریکه $f: R \rightarrow S $ یک همریختی پوشا باشد. در این صورت : اگر M ایده آل ماکسیمال R باشد به طوریکه $kerf \subseteq M$ آنگاه $f(M)$ ایده آل ماکسیمال است .

تصویر این قضیه با اثباتش رو هم میزارم که اگه خواستید فقط همین اثباتی که توی این کتاب دیدم رو توضیح بدید که من متوجه بشم . شایدم اثبات مشکل داشته باشه نمیدونم .

enter image description here

با تشکر .

توسط M.B
+1
به نظرم اثبات کتاب ایراد نگارشی داره.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط M.B

سلام. قرار بدید $kerf=I$. پس طبق قضیه اول همریختی حلقه ها $R/I \cong S$. چون $M$ یک ایده آل ماکسیمال و شامل $I$ هست، پس $M/I$ هم در حلقه $R/I$ ایده آلی ماکسیمال است. اگر اثبات قضیه اول همریختی رو خونده باشید متوجه می شوید که یکریختی بین $R/I$ و $S$ توسط $f$ القا می شود و به علاوه اگر اسم اون نگاشت رو $h$ بگذارید، آن گاه $f(J)=h(J/I)$ که $J$ ایده‌آلی از $R$ و شامل $I$ است. چون $M/I$ یک ایده آل ماکسیمال از حلقه $R/I$ است و $h$ هم یکریختی است، پس $h(M/I)$ یک ایده آل ماکسیمال از $S$ است. اما $h(M/I)=f(M)$. پس $f(M)$ ایده‌آلی ماکسیمال از $S$ است.

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...