به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
183 بازدید
در دانشگاه توسط shiva
ویرایش شده توسط fardina

اگر $f,g:(X,\mathcal A,\mu)\to \mathbb R$ انتگرال پذیر باشند به طوریکه به ازای هر $E\in \mathcal A$ داشته باشیم $\int_E f=\int_Eg$ در اینصورت $f=g\ (\mu-a.e.)$

توسط fardina
دقیقا میدونستم منظورتون این سوال هست. ولی خواستم که فرضیات مساله رو دقیق و کامل بنویسید.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط fardina

این قضیه رو میتونید در همه کتاب های آنالیز حقیقی پیدا کنید.

اگر قرار دهید $u=f-g$ و قسمت های مثبت و منفی $u$ را درنظر بگیرید داریم $u=u^+-u^-$ که در آن $u^+=\max\{f,0\},u^-=\max\{-f, 0\}$ .

فرض کنید $E=\{x:u^+(x)\neq 0\}$ دارای اندازه مثبت باشد. چون هر جا که $u^+(x)\neq 0$ داریم $u^-(x)=0$ (چرا؟) لذا

$$\require{cancel}\int_E(f-g)=\int_Eu=\int_Eu^+-\cancelto{0}{\int_Eu^-}> 0$$

که با فرض $\int_E(f-g)=0$ در تناقض است. لذا مجموعه $ \{x:u^+(x)\neq 0\} $ دارای اندازه صفر است. و به طور مشابه می توانید ثابت کنید $\{x: u^-(x)\neq 0\}$ دارای اندازه صفر است و لذا مجموعه $\{x: u(x)\neq 0\}$ دارای اندازه صفر است. یعنی مجموعه $\{x:f(x)\neq g(x)\}$ دارای اندازه صفر است که به معنای تقریبا همه جا برابر بودن $f,g$ است.

توجه: اگر $f:X\to \mathbb C$ تابع مختلط مقدار در نظر بگیرید در اینصورت استدلال کاملا مشابه است فقط کافی است قسمت های حقیی و موهومی را در نظر بگیرید.

توسط
+1
خیلی ممنون

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...