به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
47 بازدید
سوال شده در دبیرستان و دانشگاه توسط parham
ویرایش شده توسط fardina

هرگاه حاصلضرب $ n$عدد مثبت مقداري ثابت باشد يعني داشته باشيم :

$P= x_{1} . x_{2} . x_{3} ... x_{n} $

آنگاه حاصل جمع آنها يعني:

$S= x_{1} + x_{2} +...+ x_{n} $

چه موقع مينيمم است؟

دارای دیدگاه توسط fardina
+1
به نظرم میرسه که سوال رو اشتباه نوشید.
منظورتون این بوده که حاصلضرب ثابت هست و میخواید بدونید چه وقت مجموع مینیمممیشه درسته؟
دارای دیدگاه توسط parham
+2
@fardina
بله حواسم نبود ببخشيد
الان ويرايش ميكنم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

فرض کنید حاصلضرب ثابت و برابر $P$ باشد. برای اثبات رابطه می توانیم از قضیه میانگین کوشی استفاده کنیم که برای $ x_{1} ,..., x_{n} $ داریم: $$ \frac{ x_{1} +...+ x_{n} }{n} \geq \sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} } $$

و تساوی وقتی برقرار است که اعداد با هم برابر باشند.

پس مجموع توسط $n\sqrt[n]{ x_{1} ... x_{n} }=n \sqrt[n]{P} $ از پایین کراندار است و طبق قضیه مینیمم زمانی اتفاق می افتد که اعداد با هم برابر باشند.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...