به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
149 بازدید
در دبیرستان توسط zh
ویرایش شده توسط fardina

اگر $ a_{1},... a_{15} $ یک دنباله حسابی باشد. آنگاه حاصل زیر را بدست آورید.

$$ \frac{1}{ a_{1} + a_{2} }+ \frac{1}{ a_{2} + a_{3} } +... + \frac{1}{ a_{14} + a_{15} } $$

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط jafar
انتخاب شده توسط erfanm
 
بهترین پاسخ

ابتدا قرار دهید $ a_{i} \longmapsto \sqrt{ a_{i} } $ لذا داریم: $$\begin{align} S&= \frac{1}{ \sqrt{ a_{2} } + \sqrt{ a_{1} } } +\frac{1}{ \sqrt{ a_{3} } + \sqrt{ a_{2} } } + ...+ \frac{1}{ \sqrt{ a_{15} } + \sqrt{ a_{14} } }\\ & = \frac{\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} }}{ a_{2}- a_{1} } + \frac{\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} }}{ a_{3}- a_{2} } + ...+\frac{\sqrt{ a_{15} }-\sqrt{ a_{14} }}{ a_{15}- a_{14} } \end{align}$$

اما از طرفی در تصاعد حسابی تفاضل هر دو جمله پشت سرهم برابر قدرنسبت یعنی $d $ است و $ a_{n} = a_{1}+(n-1)d $ پس $$\begin{align} S&= \frac{(\sqrt{ a_{2} } - \sqrt{ a_{1} })+(\sqrt{ a_{3} } - \sqrt{ a_{2} })+...+ (\sqrt{ a_{15} } - \sqrt{ a_{14} })}{d}\\ &= \frac{\sqrt{ a_{15} } - \sqrt{ a_{1} }}{d}= \frac{ a_{15} - a_{1} }{d(\sqrt{ a_{15} } +\sqrt{ a_{1} }) } \\ &= \frac{14 d}{d (\sqrt{ a_{15} } +\sqrt{ a_{1} })} = \frac{14}{\sqrt{ a_{15} }+ \sqrt{ a_{1} }} \end{align}$$

حال قرار می دهیم $ \sqrt{ a_{i} } \longmapsto a_{i} $ لذا داریم $$ S= \frac{14}{a_{15} + a_{1} } $$

+2 امتیاز
توسط zh
ویرایش شده توسط zh
$$\begin{align} A& = \frac{1}{ a_{1} + a_{2} } +...\frac{1}{ a_{14} + a_{15} } \\ &= \frac{ a_{2} - a_{1} }{( a_{2}- a_{1} )(a_{2} + a_{1})} + ... +\frac{ a_{15} - a_{14} }{( a_{15}- a_{14} )(a_{15} + a_{14})} \\ &= d \Big( \frac{ a_{2} - a_{1} + a_{2} + a_{1} }{2 a_{2}( a_{2} - a_{1} )( a_{2}+ a_{1} ) } +...+ \frac{ a_{15} - a_{14} + a_{15} + a_{14} }{2 a_{15}( a_{15} - a_{14} )( a_{15}+ a_{14} ) } \Big) \\ &= d \Big( \frac{1}{2 a_{2}( a_{1} + a_{2} ) }+...+ \frac{1}{2 a_{15} ( a_{15} +a_{14} )} \Big) + \frac{1}{2} \Big( \frac{1}{ a_{1} }+...+ \frac{1}{ a_{15} } \Big) \\ &= d \Big( \frac{1}{(2a+d)(2a+2d)}+\frac{1}{(2a+3d)(2a+4d)}+... + \frac{1}{(2a+27d)(2a+28d)} \Big) + \frac{1}{2} \Big( \frac{1}{ a_{1} } +...+ \frac{1}{ a_{15} } \Big) \end{align}$$

اکنون قرار می دهیم $ t_{2} = (2a+d) $ ، لذا $ t_{3} =(2a+2d) $ ... و $ t_{29}=2a +28d $ .

از این رو با توجه به اینکه $$ \frac{1}{ a_{1} a_{2} }+ ...+ \frac{1}{ a_{n-1} a_{n} } = \frac{n}{a(2a+nd)} $$

در پرانتز اول خواهیم داشت

$$ d \Big( \frac{1}{(2a+d)(2a+2d)}+...+ \frac{1}{(2a+27d)(2a+28d)}\big)$$ $$\begin{align} &=d \Big( \frac{1}{ t_{2} t_{3} }+...+ \frac{1}{ t_{28} t_{29} } \Big) \\ &= d \Big( \frac{29}{2a(2a+29d)} - \frac{1}{2a(2a+d)} \Big) = \frac{28d}{(2a+d)(2a+29d)} \end{align}$$

از مباحث فوق نتیجه میگیریم که

$$ A= \frac{28d}{(2a+d)(2a+29d)} + 14a+7d$$
توسط jafar
+1
جوابتون فک کنم که اشتباهه.
چون دنباله زیر را در نظر بگیرید که جوابش با جواب حل شما یکی نیست!
1و1و1و1و1و1و1و1و1و1و1و1و1و1و1
توسط zh
+1
بله تو محاسبات آخر اشتباه کردم که دارم تصحیحش میکنم.
نمیدونم چرا همیشه جوابام یه چیز دیگه بدست میاد.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...